复变函数论第三版课后习题答案解析Word格式.docx

1、又 故 ,同理,知就是内接于单位圆的一个正三角形。6.下列关系表示点的轨迹的图形就是什么？它就是不就是区域。（1） ;点的轨迹就是与两点连线的中垂线,不就是区域。（2）;令由,即,得故点的轨迹就是以直线为边界的左半平面（包括直线）;不就是区域。（3）令,由,得,即;故点的轨迹就是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）;就是区域。（4）;由,得,即故点的轨迹就是以直线为边界的梯形（包括直线;不包括直线）;（5）;点的轨迹就是以原点为心,2为半径,及以为心,以1为半径的两闭圆外部,就是区域。（6）;点的轨迹就是位于直线的上方（不包括直线）,且在以原点为心,2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）;（7）

2、;点的轨迹就是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形（不包括边界）,就是区域。（8）由,得故点的轨迹就是两个闭圆的外部,就是区域。7.证明:z平面上的直线方程可以写成（a就是非零复常数,C就是实常数）证 设直角坐标系的平面方程为将代入,得令,则,上式即为。反之:将,代入得则有;即为一般直线方程。8.证明:平面上的圆周可以写成其中A、C为实数,为复数,且。设圆方程为其中当时表实圆;将代入,得即其中且;令代入得其中即为圆方程。10.求下列方程（t就是实参数）给出的曲线。（1）; （2）;（3）; （4）,解（1）。即直线。（2）,即为椭圆;（3）,即为双曲线;（4）,即为双曲线中位于第一象限中的一支。1

3、1.函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？ （2）解 ,可得（1）就是平面上一直线;（2）,于就是,就是平面上一平行与v轴的直线。13.试证在负实轴上（包括原点）不连续,除此而外在z平面上处处连续。证 设,因为f（0）无定义,所以f（z）在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时,即,有所以不存在,即在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。14. 设求证在原点处不连接。证 由于可知极限不存在,故在原点处不连接。16、 试问函数f（z） = 1/（1 z ）在单位圆| z | 1内就是否连续？就是否一致连续？【解】（1） f（z）在单位圆| z | 1内连续.因为

4、z在 内连续,故f（z） = 1/（1 z ）在 1内连续（连续函数的四则运算）,因此f（z）在单位圆| z | （2） f（z）在单位圆| z | 1内不一致连续.令zn = 1 1/n,wn = 1 1/（n + 1）,n +.则zn, wn都在单位圆| z | 0,故 f（z）在单位圆| z | 也可以直接用实函数f（x） = 1/（1 x ）在（0, 1）不一致连续来说明,只要把这个实函数瞧成就是f（z）在E = z | Im（z） = 0, 0 Re（z） 0,N +,使得n N,有| zn - z0 | .此时有| xn - x0 | | zn - z0 | ;| yn - y0

5、| | zn - z0 | 0,N1 +,使得n N1,有| xn - x0 | N2,有| yn - y0 | N,有n N1且n N2,故有| zn - z0 | = | （xn - x0） + i （yn - y0） | | xn - x0 | + | yn - y0 | 0,K +,使得n K,有| zn - z0 | K时,有| （z1 + z2 + 、 + zn）/n - z0 | = | （z1 - z0） + （z2 - z0） + 、 + （zn - z0） |/n （ | z1 - z0 | + | z2 - z0 | + 、 + | zn - z0 |）/n = （ |

6、z1 - z0 | + 、 + | zK - z0 |）/n + （ | zK +1 - z0 | + 、 + | zn - z0 |）/n M/n + （n - K）/n （ /2） M/n + /2.因lim n （M/n） = 0,故L +,使得n L,有M/n | （z1 + z2 + 、 + zn）/n - z0 | M/n + /2 /2 + /2 = .所以,lim n （z1 + z2 + 、 + zn）/n = z0.（2） 当z0 时,结论不成立.这可由下面的反例瞧出.例:zn = （-1）n n,n +.显然lim n zn = .但k +,有（z1 + z2 + 、 +

7、 z2k）/（2k） = 1/2,因此数列（z1 + z2 + 、 + zn）/n不趋向于.这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同,甚至反例都就是一样的.2.如果,试证明解 （1）（2）4.设,试证及 有 6、 设| z | = 1,试证:| （a z + b）/（b* z + a* ） | = 1.（z*表示复数z的共轭）【解】此题应该要求b* z + a* 0.| a z + b | = | （a z + b）* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | | z | = | （a* z* + b*） z | = | a* z* z + b* z | = |

8、 a* | z |2 + b* z | = | b* z + a* |.故| （a z + b）/（b* z + a* ） | = 1.8、 试证:以z1, z2, z3为顶点的三角形与以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为= 0.【解】两个三角形同向相似就是指其中一个三角形经过（一系列的）旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形（注意没有反射变换）.例如我们将采用下述的观点来证明:以z1, z2, z3为顶点的三角形与以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件就是:将它们的一对对应顶点都平移到原点后,它们只相差一个位似旋转.记f1（z） = z

9、- z1 （将z1变到0的平移）;f3（z） = z - w1 （将0变到w1的平移）;那么,三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似 存在某个绕原点的旋转位似变换f2（z） = z0 z,使得f2 （ f1（zk） = f3（wk）,（k = 2, 3）,其中z0 0 存在z0 0,使得z0（zk - z1） = wk - w1,（k = 2, 3） （w2 - w1）/（z2 - z1） = （w3 - w1）/（z3 - z1） = 0 = 0.证完9、 试证:四个相异点z1, z2, z3, z4共圆周或共直线的充要条件就是（z1 z4）/（z1 z2） : （z3 z4）/（z

10、3 z2）为实数.【解】在平面几何中,共线的四个点A, B, C, D的交比定义为（A, B; C, D） = （AC/CB） : （AD/DB）.这就是射影几何中的重要的不变量.类似地,在复平面上,（不一定共线的）四个点z1, z2, z3, z4的交比定义为z1z2, z3z4 = （z1 z3）/（z2 z3） : （z1 z4）/（z2 z4）.本题的结论就是说:复平面上四个点共圆或共线的充要条件就是其交比为实数.（ ） 分两种情况讨论（1） 若（z1 z4）/（z1 z2）为实数,则（z3 z4）/（z3 z2）也就是实数.设（z1 z4）/（z1 z2） = t,t .则z4 =

11、（1 t）z1 + t z2,故z4在z1, z2所确定的直线上,即z1, z2, z4共线.因此,同理,z1, z2, z3也共线.所以,z1, z2, z3, z4就是共线的.（2） 若（z1 z4）/（z1 z2）为虚数,则（z3 z4）/（z3 z2）也就是虚数.故Arg （z1 z4）/（z1 z2） k,Arg （z3 z4）/（z3 z2） k.而Arg （z1 z4）/（z1 z2） Arg （z3 z4）/（z3 z2）= Arg （z1 z4）/（z1 z2） : （z3 z4）/（z3 z2） = k.注意到Arg （z z4）/（z z2） = Arg （z4 z）/（z2 z）就是z2 z到z4 z的正向夹角,若Arg （z1 z4）/（z1 z2） = Arg （z3 z4）/（z3 z2）,则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧,且它们对z2, z4所张的角的大小相同,故z1, z2, z3, z4就是共圆的.若Arg （z1 z4）/（z1 z2） = Arg （z3 z4）/（z3 z2） + ,则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧,且它们对z2, z4所张的角的大