等腰三角形(提高)知识讲解Word文档格式.doc

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性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

要点二、等边三角形

1.等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形.　　

由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包

括等边三角形．

2.等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

.

3.等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形．

【典型例题】

类型一、等腰三角形中的分类讨论

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°

，则顶角的度数为（）．

A．60°

B．120°

C．60°

或150°

D．60°

或120°

【答案】D；

【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．

（1）顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°

；

（2）顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°

不符合题意；

（3）顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°

，故此题应选D．

【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：

等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

【答案】

解：

（1）3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；

（2）3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．

这样得两组：

①3，3，7②5，5，3．

而由构成三角形的条件：

两边之和大于第三边可知：

3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．

∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．

类型二、等腰三角形的操作题

2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；

并根据每种情况分别猜想：

∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？

（1）如图①△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝24°

猜想：

（2）如图②△ABC中，∠C＝84°

【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.

【答案与解析】

（1）作图：

∠A＋∠B＝90°

，

（2）作图：

∠B＝3∠A.

【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.

【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°

，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，

探究：

如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？

写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

解：

若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.

设∠B为度∠1＝45°

，∠2＝∠A＝90°

－

①当BD＝BE时

∠3＝，

45°

＋90°

－＋＝180°

＝30°

.

②经计算ED＝EB不成立.

③当DE＝DB时

∠3＝180°

－2

－＋180°

－2＝180°

＝45°

综上所述，∠B＝30°

或45°

类型三、等腰三角形性质判定综合应用

3、（2015春•威海期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：

ME⊥BC．

【思路点拨】根据EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

证明：

∵∠BAC=90°

，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°

∵EH⊥AB于H，

∴△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=BH，∠BEH=45°

∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，

∴DE=HE，

∴DE=BH=HE，

∵BM=2DE，

∴HE=HM，

∴△HEM是等腰直角三角形，

∴∠MEH=45°

∴∠BEM=45°

+45°

=90°

∴ME⊥BC．

【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键．

【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：

AC＝BF．

证明：

延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.

A

B

C

D

E

F

G

类型四、等边三角形

4、已知：

如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连结MN.

AE＝BD，MN∥BE.

，都是等边三角形

　　　∴BC＝AC，CE＝CD，∠1＝∠3＝60°

　　　∠1＋∠2＋∠3＝180°

∴∠2＝60°

∴

在和中

（已证）

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD＝AE（全等三角形对应边相等）

　（全等三角形对应角相等）

∴△BMC≌△ANC（ASA）

∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）

∵∠2＝60°

∴△MCN是等边三角形（有一个角为60°

的等腰三角形是等边三角形）

∴∠6＝60°

，∴∠6＝∠1

∴MN∥BE（内错角相等，两直线平行）

【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE＝BD；

为证明MN∥BE，可先证明△MNC为等边三角形，再利用角去转化证明.

【变式】

（2015春•鄄城）如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为　　，∠ABD=　　°

．

①∵AB=AC，∠ABC为60度，

∴△ABC为等边三角形．

在△ABD和△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AE是BC边的中垂线，

∴BE=BC=2cm；

故答案是：

2cm；

②∵AB=AD（已知），

∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），

∴∠ABD=（180°

﹣∠BAD）=（180°

﹣30°

）=75°