福州一中2017年高中招生(面向福州以外地区)数学试卷(含答案)文档格式.doc
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．． ． ．
3.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：
①＞；
②＜；
③甲的射击成绩比乙稳定；
④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
．①③．①④
．②④．②③
4.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（）
．星期一．星期二．星期六．星期日
5.对于两个实数，规定表示中的较大值，当时，，当时，，例如：
.则函数的最小值是（ ）
．． ． ．
6.如下表，把一列互不相等的正整数按照从小到大的顺序填入下列表格，已知前两个格子填入的数分别为1和2.任取四个彼此相邻格子中的数，从小到大依次记为、、、，且满足，则第个格子中的数为（）
1
2
m
...
．．．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
7.《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：
“今有牛五、羊二，直金十两；
牛二、羊五，直金八两．
问：
牛、羊各直金几何？
”
译文：
“假设有5头牛、2只羊，值金10两；
2头牛、5只羊，值金8两．
每头牛、每只羊各值金多少两？
设每头牛值金两，每只羊值金两，可列方程组为．
8.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是，那么所需扇形铁皮的圆心角应为度．
9.若函数的图象如图所示，则关于x的不等式
的解集为．
10.观察下列等式：
，，，…，根据上述规律，第五个等式为________________．
11.如图，是⊙的直径，，点在⊙上，
，是劣弧的三等分点（靠近点），是
直径上的一动点，则周长的最小值为__________．
12.定义二次函数的图象与直线交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数
有唯一的不动点，若且，则的取值范围是.
三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）
13.（本小题满分13分）
已知四边形，点在边上，为对角线上的动点，满足.
（Ⅰ）当四边形为正方形时（如图1），求证：
；
（Ⅱ）当四边形为矩形，且，时（如图2），试探究
是否为定值，若是，求出该定值；
若不是，请说明理由.
14.（本小题满分13分）
如图，海中有一小岛，它周围海里内有暗礁.一艘巡逻船在岛海域例行巡逻，某时刻航行至处时，测得其东北方向与它相距海里的处有一渔船，且岛位于巡逻船正东海里处.观测中发现，此渔船正以每小时海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？
请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向.
（参考数据：
，）
15.（本小题满分14分）
已知抛物线的顶点为，并与轴交于、两点，点在点的左侧，直线经过、.
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线的表达式；
（Ⅱ）点是点关于轴的对称点，连接、.平移，得到（、、的对应点分别为、、），满足在直线上，点在抛物线上，求此时点的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取位于轴上方的点，连接、.设、分别为射线和射线上的动点，连接，以为直径的⊙经过点，点从开始沿射线运动的过程中，试求线段的最小长度.
福州一中2017年高中招生（面向市区以外）
综合素质测试数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
题号
3
4
5
6
答案
C
D
A
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7． 8．
9． 10．
11． 12．
三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
13.本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；
特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分13分．
（Ⅰ）法一:
证明：
过作于，于，……………………1分
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵是的角平分线，
∴……………………………………2分
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴……………………………………4分
在和中，
，
∴≌（），……………………………………5分
∴……………………………………6分
法二：
连，由，
两点都在以为直径的圆上，.....................2分
∴.....................3分
∵四边形是正方形，
∴，∴，∴
......................5分
（Ⅱ）法一：
∵四边形是矩形，
又∵，
∴∥，
∴∽，
∴，……………………………………7分
同理，，
∴，
∴，……………………………………9分
∵，，
∴∽……………………………………10分
∴……………………………………11分
∴为定值.…………………………………12分
两点都在以为直径的圆上，..................8分
，......................9分
∵....................11分
∴.....................12分
（或证明）
14.本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．
解：
在中作于点.…………………2分
在中，
……………………………………3分
………………………………4分
依题意，以点为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分
∵
所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分
在上取点使得，连接，.
在中，，
所以，
……………………………8分
在中，
……………………………9分
所以，在中，
……………………………11分
因为该渔船到达点的时间小时.
所以巡逻船速度海里/小时.………………………13分
所以，巡逻船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截.………………………14分（注：
没有取“=”扣1分）
15.本题考查一次函数和二次函数的图像与性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想．满分14分．
（Ⅰ）法一：
当时即，则有两个不同的实根，
（注：
说明因二次函数开口向上，与轴交于、两点则亦可）……1分
由已知可得，，则
解得或（舍），.......................................3分
............4分
过作轴于
当时即，则有两个不同的实根，...1分
解得，则
由已知可得，，设直线与轴交于点，
∵，
为等腰直角三角形
即解得
，...................................3分
............4分
（Ⅱ）设交轴于.由题意可得，
，，
∵点和点关于轴对称
，为等腰直角三角形且
由平移的性质可知且...............6分
设，则，
....................8分
解得或，则或....................9分
（Ⅲ）连接，
，.......10分
由（Ⅱ）可知，
∵
四边形为矩形
在的垂直平分线上......................11分
过作于，由垂线段最短可知即为线段的最小长度..........12分
当点在处时，在的中点处，当点在处时，在上的点处
由上可知.
则，，，
∵四边形为矩形
得，
即线段的最小长度为..............................14分
市外招生数学试卷第10页共4页
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