用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用Word文档格式.doc

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图1图2

在图2中，△APP′是正三角形，∠PAP′=∠CAC′=60°

，∠APB=120°

，∠APC=∠AP′C′=120°

，∠BPC=360°

-∠APB-∠APC=120°

，∠BAC=∠BAC′-∠CAC′

<

180°

-60°

=120°

，即∠BAC<

120°

。

那么当∠BAC≥120°

时情况又怎样呢？

在图1中清除点P，连接BC′，并在BC′上作点P、P′，使△APP′是正三角形，图形同图2，但点P的属性不再是自由点，选中直线BC，然后慢慢向上移动，发现∠BAC逐渐增大，当∠BAC=120°

时，点C′在BA的延长线上，而点P、P′与点A重合，如图3，PA+PB+PC=AB+AC=AB+AC′=BC′，点P仍为探求的费马点。

图3图4

继续向上移动直线BC，∠BAC继续增大，如图4，此时∠BAC>

，PA+PB+PC=BP+PP′

+P′C′=BC′+2PP′>

BC′,PA+PB+PC=BC′不成立，点P不能确定为探求的费马点。

究其原因，是因为∠BAC+∠CAC′>

时，点P、P′在线段BC′上的相对位置发生了变化，也就是说本来四个点顺次是B、P、P′、C′，点P在点B、P′之间，而现在是点P′在点B、P之间。

所以，为保证PA+PB+PC=BC′成立，必须∠BAC+∠CAC′≤180°

所以，当∠BAC>

时，调整旋转角∠CAC′=180°

-∠BAC<

60°

，这时点C′在BA的延长线上，PA≥PP′，PC=P′C′，PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C′≥BC′=AB+AC′=AB+AC，等号在点P与点A重合时成立，如图5。

图5

综上所述，得出如下结论：

当三个内角都小于120°

时，费马点P是满足∠APC=∠BPC=∠CPA=120°

的△ABC内一点。

当三角形有一个内角大于或等于120°

时，费马点就是这个最大内角的顶点。

下面给出当三个内角都小于120°

时，费马点P的作法：

如图6，分别以AB、AC为边向△ABC形外作正△ABB′和正△ACC′，连接BC′和B′C，因费马点既在BC′上，又在B′C上，所以它们的交点P即为费马点。

图6

下例是作为上述结果应用的一个典型例题：

例：

如图7，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？

图7图8

它在公路、自来水、煤气管道或是电力线路设计等方面都有一定应用价值，现探讨如下：

分析：

在几何画板中，如图8，分别用点A、B表示张村、李村，用直线m表示河，如果直接由水泵站向两村供水，则作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′交直线m于点P，则水泵站修在点P1时，所用水管最短，如图8。

图9

但是当∠APB<

时，ΔABP存在异于点P1的费马点O，有OA＋OB＋OP1＜P1A＋P1B，可见水管由点P1引到点O后再直接向A、B两地供水，其总长要更小一些。

在几何画板中删除点B′，然后把点B绕点A旋转60°

得点C，作ΔABC的外接圆，因为当点O是ΔABP内的费马点时，∠AOB=120°

，所以点O在120°

的圆弧AB上。

设水泵修建点为P2，根据“直线外一点与直线上的各点的连接的线段中垂线段最短”．必有OP2⊥m,所以∠AOC=60°

，∠AOP2=120°

，∠COP2=∠AOC+∠AOP2=60°

+120°

=180°

，即点O在过点C作直线m的垂线上；

所以，寻求的费马点O必是过点C作直线m的垂线与120°

的圆弧AB的交点。

在几何画板中作出点O和点P2，因为用对称点P′则水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水，其总长最小，如图9所示。

选中直线m，慢慢地向上移动，

如果符合条件的点O不在ΔABP内，则点O必是°

的顶点，若点O与点P重合，即点O在直线m上，则可用轴对称法作出，如图8。

若点O与点A或是点B重合，则∠PAB≥120°

或∠PBA≥120°

，此时直线AB与直线m的交角大于或等于30°

如果符合条件的点O在ΔABP内，如图10，以AB为一边作正ΔABC，和ΔABC的外接圆．设点O是符合本例条件的费马点，则∠AOB=120°

，即点O在120°

的圆弧AB上；

又∠AOC=60°

，∠AOP=120°

，所以∠COP=∠AOC+∠AOP=60°

但是反过来：

过点C作直线m的垂线与120°

的圆弧AB的交点O是不是一定是本例所寻求的费马点？

如图12，点O在ΔABP外，不是ΔABP的费马点。

因此，此例就要对位置进行讨论。

图11

问题2：

有人讨论时分为图11的情形是当直线与圆相离时，费马点是ΔABP内一点；

而图12的情形是当直线与圆相交或是相切时，费马点是直线m上一点。

图13

如图13，直线与圆相交，费马点似乎不在直线m上！

下面对一般情况进行讨论：

设直线AB与m的夹角为α。

（1）当α<

30°

时．

（ⅰ）如图10，当点P在圆外时，由∠AOB=∠AOP=∠BOP=120°

知，点O是符合条件的费马点。

因此水泵站修在点P，水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水，所需水管最省。

此时铺设的水管呈“Y”字型。

（ⅱ）如图11，当点P在圆上时，如果费马点在直线m上，作点B关于直线m的对称点B′，连接AP、PB′，则∠APB=120°

，∠BPC=60°

，∠BPB′=2（90°

）=60°

，∠APB′=120°

+60°

，所以点A、P、B′在同一直线上。

也就是说如果费马点在直线m上，则为点P，如果不在直线m上，则在

（ⅲ）如图11，当点P在圆内或圆上时，点O在ΔABP外，不是ΔABP的费马点，说明无论点P选在直线m的何处，在ΔABP内找不到符合条件的费马点。

所以符合条件的费马点O只能是ΔABP中内角不小于120°

的角顶点。

若点A是符合条件的费马点，则∠BAP=90°

±

α<

所以点A不可能是费马点，同理点B也不可能是费马点，故费马点只能是点P，而点P在直线m上，由例2知，符合条件的点P可用如下方法确定：

图11图12

如图17，作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′交直线m于点P，点P即为水泵站修建的最佳位置，水管由点P直接向A、B两地供水，此时铺设的水管呈“V”字型。

（2）当α≥30°

如图18，设点B较点A更靠近河道，过点B作直线m的垂线，垂足为点H，因为∠ABC+∠ABH=60°

+α+90°

>

所以∠AOB=60°

≠120°

因此，点O不符合费马点条件。

所以符合条件的费马点只能是ΔABP中内角大于120°

图13图14

如图19，若点A是ΔABP费马点，则∠BAP=90°

-α<

所以点A不可能是费马点。

如图20，若点P是ΔABP费马点，作点A与点B关于直线m的对称点A′、B′，则AB′与BA′的交点即为点P，所以∠APB=∠A′AP+∠AA′P=2∠A′AP<

2∠A′AB=2（90°

-α）≤120°

，即∠APB<

，所以，点P不可能是费马点。

所以点B必是符合条件的费马点，此时点P与点H重合。

此时铺设的水管呈“厂”字型。

综上所述水管的最短线路形状有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．