圆的分类讨论例题及习题Word文档下载推荐.doc

圆的分类讨论例题及习题Word文档下载推荐.doc

《圆的分类讨论例题及习题Word文档下载推荐.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆的分类讨论例题及习题Word文档下载推荐.doc（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

例1、圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，，求AB和CD的距离。

（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图，过点O作交AB于点M，交CD于N，连结OB、OD，得，，然后由勾股定理求得：

，故AB和CD的距离为1cm。

（2）当在圆心的异侧时，如图9，仍可求得。

故AB和CD的距离为7cm。

所以AB和CD的距离为1cm和7cm。

例2、 

已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为多少？

（2或8cm） 

例3、 

已知：

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°

．在图中作弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数．

连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

，

∵∠BAC=30°

，∴BC=1/2AB=1，∠B=60°

以A圆心BC长为半径画弧可得点D，再连接AD即可；

∵AD=BC，所以弧BCE=弧ADC∴∠DAB=∠B=60°

，∴∠DAC=60°

-30°

=30°

；

同理可得：

∠D′AC=60°

+30°

=90°

综上所述：

∠CAD的度数为30°

或90°

例4、油桶问题：

一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm，其半径为50cm，求油面的最大深度？

两个答案：

要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。

例5、拱桥问题：

某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？

三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论 

例1、已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。

若OM：

OA=3：

5，则弦AC的长为多少？

四、点与弦的相对位置时，需要分类讨论 

例1：

⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°

，则∠BAC＝_________。

例2：

在⊙O中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点。

判断COBÐ

与CPDÐ

的数量关系，并尝试证明你的结论。

五、三角形与圆心的位置关系

已知内接于圆O，，则的度数为________。

分析：

因点A的位置不确定。

所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。

也可分析为圆心在的内部和外部两种情况。

（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3，

图3图4

（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4，

所以的度数是或。

练习：

1、已知圆内接中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。

（两种情况如图5、图6）

图5图6

例2、△ABC内接于⊙O，AOCÐ

=1000，则ACBÐ

= 

例 

3、△ABC是半径为2cm的园内接三角形，若BC=23cm，则∠A的度数为 

例4、已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。

六、角与圆心的位置关系

在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关系分为三类加以讨论：

（1）圆心在角的一边上；

（2）圆心在角的内部；

（3）圆心在角的外部。

其中，第一种情况是最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化为第一种情况加以证明的。

通过这三种情况的证明概括得出一般性结论。

例1、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____。

角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。

如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

所以∠BAE＝30°

同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，

所以∠EAC＝45°

当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'

），由轴对称性可知：

所以∠BAC为75°

或15°

七、弦所对的圆周角有两种情况

例1：

半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于____。

分析：

弦所对的圆周角有两种情况：

（1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上；

（2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。

故应填60°

或120°

。

例2、圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ 

）。

A.30°

或60°

B.60°

C.150°

D.30°

或150°

一条弦分圆周为3：

5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为。

八、点在弧上的位置，需要分类讨论 

如下图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OPB＝_________度。

（分p在x轴的两侧）

九、圆与圆的位置关系

例1、已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。

（1）当圆是大圆时，则圆的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆的半径为3cm。

（2）当圆是小圆时，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆的半径为5cm。

所以圆的半径是3cm或5cm。

例2、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。

（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即。

（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即。

所以两圆的圆心距是2cm或10cm。

例3、相交两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______分析：

注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况

补充：

1、弦所对弧的优劣情况不确定

已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。

20cm或80cm

2、如图3，AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，，则弦AB所对的圆周角等于__________。

因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。

可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。

（1）当这个圆周角的顶点在弦切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为。

（2）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的弧以外的弧上时，求得这个圆周角为。

所以弦AB所对的圆周角等于或。

3、已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。

所以圆的半径是3cm或5cm。

4、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_______。

（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图，设AB是公共弦，交AB于点C，则，由勾股定理解得，故。

（2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图7，可求得。

故。

所以这两圆的圆心距为或。

5、过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·

AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。

依题意，点A与⊙O的位置关系有两种：

（1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则

由相交弦定理得：

所以（负值已舍去）

（2）点A在⊙O外，如图2，此时

由割线定理得：

故⊙O的半径R为或6。

6、如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。

依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°

当动点P在上时，∠OPB＝∠OAB＝45°

当动点P在上时，∠OPB＝180°

－45°

＝135°

故∠OPB为45°

或135°

7、已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。

相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。

如图9、图10，

在中，

（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，

如图9

（2）当圆心在公共弦AB的异侧时，如图10，

8、已知在直径AB为13的半圆上有一点C，CD⊥AB，垂足为D，且CD＝6，求AD的长.

由于6＜，即CD＜AB，所以点D在直径上的位置有两种情况：

（1）如图3，当点D和点A在圆心O的同旁时（AD＜BD）．

在Rt△COD中，OD＝，则AD＝OA－OD＝－＝4；

O

D

A

B

C

图4

图3

（2）如图4，当点D和点A在圆心的两旁时（AD＞BD）.

同理可求OD＝，则AD＝AO＋OD＝＋＝9.

故所求的AD的长为4或9.

点评：

图形的位置关系是几何研究的重要方面，应考虑到图形所有可能情况，全面性地思考问题．如：

本例中，由于圆的轴对称性，相同长度的弦位置往往不止一个．

本题可以拓展到整圆：

⊙O的半径为5，AB为直径，弦CD⊥AB，CD=6，则AE=（1或9）

9、两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。

这种情况。

（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切⊙于A，切⊙于B，EF切⊙于E，切⊙于F，AB⊥EF于D。

由切线定理，得：

所以

故有

（2）当内公切线垂直时，如图12，作，交点为E，则

（3）当外公切线垂直时，如图13，作于G，则

10、如图,在平面直角坐标系中,已知⊙C的半径为r,直线l:

与x轴、y轴分别交于A、B两点.

（1）当r=1.5时，将⊙C从点C与坐标原点重合开始,