圆的基本性质教案(含答案)Word格式.doc

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推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：

此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：

在⊙O中，∵AB∥CD

圆心角定理

圆心角定理：

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：

①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④

圆周角定理

圆周角定理：

同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半

即：

∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角

∴∠AOB=2∠ACB

圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

半圆或直径所对的圆周角是直角；

圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径

在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90°

∴∠C=90°

∴AB是直径

推论3：

三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：

此推论实是初二年级几何中矩形的推论：

在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:

弦切角等于所夹弧所对的圆周角

推论：

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

∵MN是切线，AB是弦

∴∠BAM=∠BCA

切线的性质与判定定理

（1）判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：

∵MN⊥OA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：

切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：

过圆心垂直于切线的直线必过切点

推论2：

过切点垂直于切线的直线必过圆心

以上三个定理及推论也称二推一定理：

过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件

∵MN是切线

∴MN⊥OA

切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

∵PA、PB是的两条切线

∴PA=PB

PO平分∠BPA

圆内相交弦定理及其推论：

（1）相交弦定理：

圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等

在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P

∴PA·

PB=PC·

PA

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

在⊙O中，∵直径AB⊥CD

∴

（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线

∴

（4）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）

在⊙O中，∵PB、PE是割线

弧长、扇形面积公式

（1）弧长公式：

（2）扇形面积公式：

中考热点难点突破

例1：

如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）

A．B．C．D．

O

D

A

B

C

例3图

例1图

E

例2图

例2：

如图，在中，的度数为是上一点，是上不同的两点（不与两点重合），则的度数为（）

A． B． C． D．

例3：

高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（　　）

A．5B．7C．D．

试题演练

一、选择题

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°

⊙O的半径为，则弦CD的长为（）

A． B． C． D．

第3题图

第4题图

第1题图

第2题图

2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°

，则∠C的大小为（）

A．28°

　　　B．56°

　　 C．60°

　　　D．62°

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB＝30°

⊙O的半径为，则弦CD的长为（）

A． B． C． D．

4．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（）

A．2B．3C．4D．5

5．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°

B．125°

C．135°

D．150°

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°

，则∠A等于（）

A．60°

B．50°

C．40°

D．30°

第6题图

第7题图

第8题图

第9题图

7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）

A．5米B．8米C．7米D．5米

8．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）

A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（）

A． B．5C． D．6

10.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°

，则∠OAC的度数是（）

A．35°

B．55°

C．65°

D．70°

第10题图

第11`题图

第12题图

第13题图

二、填空题

11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BOC＝44°

，则∠A的度数为．

12．如图，点在以为直径的上，，则的长为．

13.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥AC，若BD＝1，则BC的长为.

14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝，则∠ABD＝ °

.

第14题图

第15题图

第16题图

第17题图

15．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°

，则∠BAD＝__________°

.

16．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分，若AB＝2,∠CBA＝15°

，则CD的长为．

17．已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30则BC＝______cm.

18．如图所示，、、、是圆上的点，则—度．

第18题图

第20题图

19.在⊙O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝．

20．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°

，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．

三、解答题

21．如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延长线交BC于E，若∠C=25°

，求∠A的度数．

22．如图，AB是OD的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．

23．如图，P为正比例函数图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（，）．

（1）求⊙P与直线相切时点P的坐标；

（2）请直接写出⊙P与直线相交、相离时的取值范围．

四、解答题（每小题8分，共24分）

24．从卫生纸的包装纸上得到以下资料：

两层300格，每格11.4cm×

11cm，如图甲．用尺量出整卷卫生纸的半径（）与纸筒内芯的半径（），分别为5.8cm和2.3cm，如图乙．那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？

（π取3.14，结果精确到0.001cm）

图①图②

25．如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．

（1）如果∠POA＝90o，求点P运动的时间；

（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．

26．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．

（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；

（3）在

（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线．

五、解答题（每小题8分，共16分）

27．如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏。

铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝，且．

（1）求点M离地面AC的高度MB（单位：

厘米）；

（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于