图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)Word格式文档下载.doc
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∴．
课堂练习
一、旋转的概念和性质
【例3】下图中，不是旋转对称图形的是（）．
【例4】有下列四个说法，其中正确说法的个数是（）．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例5】如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】本题很多考生容易做错，将答案选为，认为只有两个旋转点，但是一定要注意边的中点也是一个旋转点，所以应该有3个旋转点．
【例6】如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）
A． B． C． D．
【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°
后可得出与图形相同的形状，故选B．
【例7】已知：
如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．
求作：
旋转中心O点．
【答案】分两类：
（1）A与C是对应点．
（2）B与C是对应点，对
（1）的作法：
首先，连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；
其次，连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求．
同理可作出
（2）的O′选点．
【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题．
【例8】如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，则旋转中心的坐标是（）．
A． B． C．D．
（2014西城期末）
【答案】C
【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线，故选C．
【例9】实验操作
（1）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数，若将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出点及；
（2）如图，在菱形网格图（最小的菱形的边长为，且有一个内角为）中有一个等边，它的顶点、、都落在格点上，若将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，请在菱形网格图中画出．其中，点旋转到点所经过的路线长为__________．
图1图2
（2014石景山一模）
（1）画出点，画出．
（2）如图所示：
旋转到点所经过的路线长为．
二、中心对称
【例10】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．
A． B． C． D．
（2014昌平一模）
【例11】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．
（2014海淀一模）
【例12】有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：
①正方形；
②正三角形；
③平行四边形；
④等腰梯形；
⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（）．
（2014东城一模）
【答案】B
【例13】已知：
如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．
【解析】根据中心对称的性质，分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．
三、共顶点旋转之全等
【例14】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：
是等边三角形．
【答案】∵，∴，
又∵、分别是、的中点，
∴，∴，
∴
∴是等边三角形
【例15】在等边中，于点．
（1）如图，请你直接写出线段与之间的数量关系：
__________；
（2）如图，若是线段上一个动点（点不与点、重合），连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，若点是线段延长线上一个动点，（）中的其他条件不变，按照（）中的作法，请在图中补全图形，并直接写出线段、、之间的数量关系．
（2014大兴一模）
（1）．
（2）．
理由如下：
∵线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∵等边三角形，
在和中
，
（3）如图，．
【例16】已知：
等边中，点、、分别为边、、的中点，点在直线上，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转至，连接．
（1）如图，当点在点侧时，线段与的数量关系是__________；
（2）如图，当点在边上时，（）中的结论是否依然成立？
如果成立，请利用图证明，如果不成立，请说明理由；
（3）当点在点右侧时，请你在图中画出相应的图形，直接判断（）中的结论是否依然成立？
不必给出证明或说明理由．
（2014通州一模）
（2）与的相等关系依然成立．
连接、、，
∵、、分别是、、的中点，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形．
∵是等边三角形，
∴，．
∵MD=，=60º
∴是等边三角形，
（3）与的相等关系依然成立，
画出正确图形．
【例17】如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结并延长交直线于点．
（1）如图1，猜想_________；
（2）如图2，3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若，，且，求的长．
如图，以是锐角为例．
又由题意可知，，．
设与交于点，
（3）由题意可求，，．
又由
（2）可证．
∴可证垂直平分，为等腰直角三角形．
【例18】问题解决
如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．
（1）如图，固定，将绕点旋转，当点恰好落在边上时，设的面积为，的面积为，那么与的数量关系是__________；
A
C
A（D）
B（E）
D
E
图1图2
B
（2）当绕点旋转到图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）如图，，点在其角平分线上，，交于点，若点在射线上，并且，请直接写出相应的的长．
N
M
图3
图4
（1）相等．
（2）证明：
∵、分别是和中、边上的高，
∵，，且，
（3）或．
【例19】将等腰和等腰按图1方式放置，，边与边重合，．将绕点逆时针方向旋转一个角度，的延长线交直线于点．
（1）如图2，与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）在旋转的过程中，当时，求出的长；
（3）在此旋转过程中，求点运动的路线长．
（2014房山一模）
（1），，
（2）如图所示，
∵和都是等腰三角形，
∴，
∵，，，
∴四边形为正方形，
∵，，，
（3）如图4，取中点，连结、．
在此旋转过程中（），
由
（2）知，当时，
最大，且，
此时，
∴点运动的路线是以为圆心，长为半径的弧与弧的和．
∴点运动的路线长为：
．
【例20】如图，正方形与正方形的边、（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．
（1）当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：
；
（2）当点在直线上时，连接，直接写出的度数；
（3）如图，如果，，，求点到的距离．
（1）证明：
如图2，
∵四边形是正方形，
（2）解：
或．
（3）解：
如图3，连接、．
由已知，可知．
又∵为正方形的对角线，
过点作于点．
设点到的距离为．
即点到的距离为．
【例21】四边形是正方形，是等腰直角三角形，，．连接，为的中点，连接．
（1）如图1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转至图2所示位置，请问
（1）中所得的结论是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
（3）将图1中的，绕点顺时针旋转，若，，当、、三点共线时，求的长及的值．
（2014西城一模）
（1），；
（2）倍长至，连接、、、；
在与中，
∴（SAS）
在与中
∴（SAS）
∴，
∴为等腰
又∵为的中点
∴，，故
（1）中的结论仍然成立；
（3）连接，则，
∴；
【例22】如图1，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．
（1）试猜想线段和的数量关系是__________；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，
①判断（）中的结论是否仍然成立？
请利用图证明你的结论；
②若，当取最大值时，求的值．
（2014燕山一模）
（2）①成立．以下给出证明：
如图，连接，
∵在中，为斜边中点，
∵四边形为正方形，
∴，且，
在和中，
②由①可得，当取得最大值时，取得最大值．
当旋转角为时，，最大值为．
如图，此时．
【例23】如图，在矩形ABCD中,点F在AD延长线上，且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中
点,点E在直线CF上（点E、C不重合）．且若AB=BC,点M、A不重合,
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