四边形的性质及证明Word文件下载.doc
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①平行四边形的两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
符号语言表达：
四边形ABCD是平行四边形
4．平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
AB∥CD，BC∥AD四边形ABCD是平行四边形
AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形．
OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．
∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB四边形ABCD是平行四边形．
三、矩形、菱形、正方形
1、菱形的性质：
①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
2．菱形的判定：
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．
③四条边都相等的四边形是菱形．
3．矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
4．矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
5．正方形的性质：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
6．正方形的判定：
①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
四、梯形
1．定义：
一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．
2、等腰梯形的性质：
等腰梯形同一底上的两个角相等;
等腰梯形的对角线相等．
3．等腰梯形的判定：
①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相等的梯形是等腰梯形．
4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．
（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。
（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．
（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。
（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。
五、中位线
定义；
几何证明中经常用到中位线。
六、平面向量
定义：
要素
加减法则。
七、常见辅助线用语：
1、连结XX
延长XX至X，使XX=XX
延长XX与XX，交于点X
2、过点X作XX∥XX
3、过点X作XX⊥XX于X
巩固练习：
一、填空题
1．六边形共有（ ）条对角线.
2．一个多边形内角和为540°
，则其边数为（ ）.
3．一个多边形每一个外角都是30°
，则这个多边形是（ ）边形.
4．从凸n边形一个顶点出发，有（ ）条对角线.
5．一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数，则边数为（ ）.
6．任意多边形的外角和为（ ）度.
二、选择题（把正确答案的序号字母填入括号中）
1．一个凸n边形的n个角中，至多有几个角是锐角.结论应该是至多有（ ）个.
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）不能确定
2．一个凸多边形内角和900°
，则这个多边形边数为（ ）条.
（A）8 （B）5 （C）7 （D）10
3．如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多边形内角和为（ ）.
（A）1800°
（B）2400°
（C）3240°
（D）4206°
4．平行四边形对角线将其分成全等三角形（ ）对.
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
三、求解题
1．一个多边形的内角和是其外角和的2倍，求边数.
2．多边形每一个内角都是150°
，求对角线的条数.
3．两个角的两边分别垂直，且一个角是另一个角的4倍还少30°
，求这两个角的度数.
4．一个多边形的各内角都相等，且内外角之差的绝对值为60°
，求边数.
5．一个多边形的内角和与其一个外角的总和为1350°
6．多边形的一个外角与其余各内角和为600°
提高练习：
一、选择题
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．
（A）AB∥CD，AD=BC;
（B）∠A=∠B，∠C=∠D;
（C）AB=CD，AD=BC;
（D）AB=AD，CB=CD
2．在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）
A.60°
B.80°
C.100°
D.120°
3．平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）
A.2 B.4 C.6 D.8
4．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（
）
A．外角和等于360°
B．对角线互相平分
C．内角和等于360°
D．有两条对角线
5．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：
①平行四边形②矩形③菱形④
正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）
A、①④⑤B、②⑤⑥C、①②③D、①②⑤
6．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。
小明补充的条件是AB=BC；
小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（）
A、小明、小亮都正确B、小明正确，小亮错误
C、小明错误，小亮正确D、小明、小亮都错误
7．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）
（A）邻角互补（B）内角和为360°
（C）对角线相等（D）对角线互相垂直
8．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
（A）四条边相等（B）对角线互相垂直平分
（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等
9．下列命题中，真命题是（）
A、有两边相等的平行四边形是菱形B、有一个角是直角的四边形是直角梯形
C、四个角相等的菱形是正方形D、两条对角线相等的四边形是矩形
10．如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，那么它的四个内角按一定顺序的度
数比可能为（）
A、3:
4:
5:
6B、4:
5C、2:
3:
2D、2:
3
二.填空题
1．在中，，则度．
2．在中，两邻边的差为4cm，周长为32cm，则两邻边长分别为________．
3．在中，，则的周长为________cm．
4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是______cm．
5．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为______cm．
6．对角线长为10cm的正方形的边长是______cm，面积是______cm2。
7．若菱形的周长为24cm，一个内角为60°
，则菱形的面积为______cm2。
8．如图，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行，
四边形需要增加一个条件是：
_______。
三.解答题
1．在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？
2．如图，中，E为BC上一点，于，求的度数．
3.已知：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°
，∠C=30°
，AD=2，BC=8。
求：
梯形两腰AB、CD的长。
A
B
C
D
4.如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是的中点．
（1）证明四边形是平行四边形；
（2）在
（1）的条件下，若，且，证明平行四边形是正方形．
G
E
F
H
5.已知：
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：
BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？
并证明你的结论．
O
6．已知：
如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：
EO=OF．
7.如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：
四边形EFGH是菱形．
8.如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.
求证：
BE=CF.
9.如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于．
；
（2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理由；
M
（3）在什么范围内变化时，线段上存在点，满足条件，并说明理由．
10.如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：
CE＝CF．
11.如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
AE＝AF.
课后练习
一、填空（每题3分，计15分）
1．若n边形的每一个内角都是120°
，则边数n为_______。
2．平行四边形的周长为100cm，两邻边之差为30cm，则平行四边形较短的边长为________。
3．菱形两邻角之比为1∶5，高为1.5cm，则菱形的周长为________。
4．一直角梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°
，AB=5，两底差为12，则另一腰为
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