勾股定理综合性难题(习题)Word文件下载.doc
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3已知：
如图，∠B=∠D=90°
，∠A=60°
，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：
OC＝1米 （大门宽度一半），
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°
，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：
作AB⊥MN，垂足为B。
在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°
，∠APB＝30°
，AP＝160，
∴AB＝AP＝80。
（在直角三角形中，30°
所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100（m），
由勾股定理得：
BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100（m），BD＝60（m）,
∴CD＝120（m）。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h＝5m/s
t＝120m÷
5m/s＝24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
6、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．
连接AD．
因为∠BAC=90°
，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
且∠BAD=∠C=45°
．
因为∠EDA+∠ADF=90°
． 又因为∠CDF+∠ADF=90°
所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以AE=FC=5．
同理：
AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
7如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°
，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°
。
求证：
DE2=AD2+BE2。
分析：
利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。
8如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是。
设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=（8-x）^2,解得x=3，
S=4*8/2-3*4/2=10
答案：
10
9.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点
C1处，如图，已知长方形长6cm，宽5cm，高3cm。
蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形
的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着
怎样的路线爬上去，所走的距离最短？
你能帮蜘蛛求出最短距离吗？
10.已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13,△ABC是否是直角三角形？
你能说明理由吗？
是直角三角形。
（平方差公式的灵活运用）
=。
家庭作业：
一、选择题
1.下列说法正确的有（）
①△ABC是直角三角形，∠C=90°
，则a2+b2=c2. ②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形. ③若△ABC中，a2-b2=c2，则△ABC是直角三角形. ④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a-b）=c2. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°
，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
3.已知，如图，一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距（ ）
A.35海里 B.40海里 C.45海里 D.50海里
4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'
处，BC'
交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题后的横线上.）
5.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走
“捷径”，在草坪内走出了一条"
路"
.他们仅仅少走了_________
步路（假设2步为1米），却踩伤了青草.
6.如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.
7.如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以x为边长的正方形的面积为__________.
8.已知△ABC的三边a、b、c满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则△ABC的面积为________.
三、解答题（共6小题，1、2题各10分，3-6题各12分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
9.如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°
，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积.
10.如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
11.如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？
12.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）AC，再折叠使AB边与AC重合，得折痕AE，若AB=3，AD=4，求BE的长.
13.如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河流的距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每km3万元，请你在河流CD上选择建水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
14.“交通管理条例”规定：
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30米的C处，过了2秒后，测得小汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
附加题（10分，不计入总分）
如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________.
一、1.C2.A3.D4.C
二、5.4 6.30cm 7.260cm或388cm 8.30
三、9.解：
连接AC.……1分
在△ABC中，∵AB=8m,BC=6m,∠B=90°
，
∴由勾股定理，AC2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10.……3分
在△ACD中，AC2+CD2=102+242=676,AD2=676，
∴AC2+CD2=AD2.∴△ACD是直角三角形.……6分
∴……8分
求这块地的面积是96m2.……10分
10.解：
由勾股定理，82+62=102,……3分
102+242=262.……6分
∴30-26=4.……8分
答：
细木棒露在盒外面的最短长度是4cm.……10分
11.解：
设E点建在距A点xkm处.……1分
如图，则AE长xkm，BE长（25-x）km.……2分
∵DA⊥AB，∴△DAE是直角三角形.
由勾股定理，DE2=AD2+AE2=102+x2.……5分
同理，在Rt△CBE中，CB2+BE2=152+（25-x）2.……7分
依题意，102+x2=152+（25-x）2，……9分
解得，x=15.……11分
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