八年级轴对称与对称轴提高压轴题Word文档格式.doc
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如图
(2):
在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小,做法如下:
作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 _________ .
(2)实践运用
如图(3):
已知⊙O的直径CD为2,的度数为60°
,点B是的中点,在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为 _________ .
(3)拓展延伸
如图(4):
点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN+MN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.
如图
(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图
(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).
(2)请直接写出△PDE周长的最小值:
_________ .
4.
(1)观察发现:
如(a)图,若点A,B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.
做法如下:
作点B关于直线l的对称点B'
,连接AB'
,与直线l的交点就是所求的点P.再如(b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.
(2)实践运用:
如(c)图,已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°
,点B是的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.
(3)拓展延伸:
如(d)图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法.
5.几何模型:
条件:
如下图,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:
在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:
作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是 _________ ;
(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°
,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
(3)如图3,∠AOB=45°
,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
6.如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A(2,﹣3),B(4,﹣1).
(1)若P(p,0)是x轴上的一个动点,则当p= _________ 时,△PAB的周长最短;
(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a= _________ 时,四边形ABDC的周长最短;
(3)设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:
是否存在这样的点M(m,0)、N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?
若存在,请求出m= _________ ,n= _________ (不必写解答过程);
若不存在,请说明理由.
7.需要在高速公路旁边修建一个飞机场,使飞机场到A,B两个城市的距离之和最小,请作出机场的位置.
8.如图所示,在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A,B,已知AB=10千米,直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°
,新开发区B到公路MN的距离BC=3千米.
(1)新开发区A到公路MN的距离为 _________ ;
(2)现要在MN上某点P处向新开发区A,B修两条公路PA,PB,使点P到新开发区A,B的距离之和最短.此时PA+PB= _________ (千米).
9.如图:
(1)若把图中小人平移,使点A平移到点B,请你在图中画出平移后的小人;
(2)若图中小人是一名游泳者的位置,他要先游到岸边l上点P处喝水后,再游到B,但要使游泳的路程最短,试在图中画出点P的位置.
10.如图,在直角坐标系中,等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴.
(1)请画出:
点A、B关于原点O的对称点A2、B2(应保留画图痕迹,不必写画法,也不必证明);
(2)连接A1A2、B1B2(其中A2、B2为
(1)中所画的点),试证明:
x轴垂直平分线段A1A2、B1B2;
(3)设线段AB两端点的坐标分别为A(﹣2,4)、B(﹣4,2),连接
(1)中A2B2,试问在x轴上是否存在点C,使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小?
若存在,求出点C的坐标(不必说明周长之和最小的理由);
11.某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂,将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工,以提高经济效益.请你在图中标明加工厂所在的位置C,使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短.(要求:
用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
12.阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;
…;
将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:
如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;
情形二:
如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?
_________ (填“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为 _________ .
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°
、60°
、105°
,发现60°
和105°
的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°
,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
13.如图,△ABC中AB=AC,BC=6,,点P从点B出发沿射线BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?
请说明理由;
14.(2012•东城区二模)已知:
等边△ABC中,点O是边AC,BC的垂直平分线的交点,M,N分别在直线AC,BC上,且∠MON=60°
.
(1)如图1,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系;
(2)如图2,当CM≠CN时,M、N分别在边AC、BC上时,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请你加以证明;
若不成立,请说明理由;
(3)如图3,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系.
15.如图,线段CD垂直平分线段AB,CA的延长线交BD的延长线于E,CB的延长线交AD的延长线于F,
求证:
DE=DF.
16.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.求证:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)点M在BC的垂直平分线上.
17.如图,△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D,E为垂足,DF⊥AB于F,且AB>AC,求证:
BF=AC+AF.
18.已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P,作PK⊥AB,PL⊥AC,垂足分别是K、L,
BK=CL.
19.某私营企业要修建一个加油站,如图,其设计要求是,加油站到两村A、B的距离必须相等,且到两条公路m、n的距离也必须相等,那么加油站应修在什么位置,在图上标出它的位置.(要有作图痕迹)
20.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°
,BC=9cm,AB的垂直平分线MN交BC于M,交AB于N,求BM的长.
21.如图,在△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN⊥AB于N,PM⊥AC于点M,求证:
BN=CM.
22.如图己知在△ABC中,∠C=90°
,∠B=15°
,DE垂直平分AB,E为垂足交BC于D,BD=16cm,求AC长.
2013年10月初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共22小题)
1.(2013•日照)问题背景:
,B为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为 2 .
考点:
轴对称-最短路线问题.3113559
分析:
(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置.根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值;
(2)首先在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′,再