二次函数图像与性质专题复习Word文档下载推荐.doc
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左加右减。
X=h
4.的性质:
二、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;
值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:
向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:
向左(右)平移个单位,变成(或)
三、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
四、二次函数图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
五、二次函数的性质
1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;
当时,随的增大而增大;
当时,有最小值.
2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;
当时,有最大值.
六、二次函数解析式的表示方法
1.一般式:
(,,为常数,);
2.顶点式:
3.两根式:
(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:
对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:
3.常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
八、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
2.关于轴对称
3.关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
4.关于顶点对称(即:
抛物线绕顶点旋转180°
)
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
5.关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数图像参考:
十一、
【例题精讲】
一、一元二次函数的图象的画法
【例1】求作函数的图象
【例2】求作函数的图像。
分析:
画二次函数图象步骤:
(1)配方;
(2)列表;
(3)描点成图;
也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。
二、一元二次函数性质
【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。
【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个:
(1)配方法;
如例3
(2)公式法:
适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4,可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式:
【二次函数题型总结】
1.关于二次函数的概念
例1如果函数是二次函数,那么m的值为。
例2抛物线的开口方向是;
对称轴是;
顶点为。
-1
O
X=1
Y
X
2.关于二次函数的性质及图象
例3函数的图象如图所示,
则a、b、c,,,的符号
为,
例4已知a-b+c=09a+3b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点可能在()
(A)第一或第二象限(B)第三或第四象限
(B)(C)第一或第四象限(D)第二或第三象限
3.确定二次函数的解析式
3
o
y
x
例5已知:
函数的图象如图:
那么函数解析式为()
(A)(B)
(C)(D)
4.一次函数图像与二次函数图像综合考查
例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是().
例7如图:
△ABC是边长为4的等边三角形,AB在X轴上,点C在第一象限,AC与Y轴交于点D,点A的坐标为(-1,0)
(1)求B、C、D三点的坐标;
(2)抛物线经过B、C、D三点,求它的解析式;
【练习题】
一、选择题
1.二次函数的顶点坐标是()
A.(2,-11)B.(-2,7)C.(2,11)D.(2,-3)
2.把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是()
A.B.C.D.
3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()
4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:
①a,b同号;
②当和时,函数值相等;
③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知二次函数的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是( )
A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3
6.已知二次函数的图象如图所示,则点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.方程的正根的个数为()
A.0个B.1个C.2个.3个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A.B.
C.或D.或
二、填空题
9.二次函数的对称轴是,则_______。
10.已知抛物线y=-2(x+3)²
+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.
11.一个函数具有下列性质:
①图象过点(-1,2),②当<0时,函数值随自变量的增大而增大;
满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。
12.抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。
13.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。
14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题:
15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?
第15题图
16.某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式(0<
t≤2),其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升,
(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?
(2)在爆竹点燃后的1.5