中考中的费马点详解加练习Word格式.doc

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费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·

费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·

托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。

托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

1.若三角形3个内角均小于120°

，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°

。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

2.若三角形有一内角大于等于120°

，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

在1的条件下画图找费马点

如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE，则CD,BE交点P即为所求

2若在≥120°

的钝角三角形中，其顶点即是。

另外，当刚好120°

且三角形BCD为等边三角形时，有个结论：

AD=AB+AC

我们拓展一道几何题，第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。

图1

2011房山一摸2009石景山

25．（本小题满分7分）

已知：

等边三角形ABC

如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°

．

试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

图2

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°

求证：

PA+PD+PC＞BD

我们回到正题：

费马点

25.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△的顶点、在线段上，求及的长；

（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

2013房山一摸

24．

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：

BE=AD．

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°

，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是　　（只填序号即可）

①AD=BE=CF；

②∠BEC=∠ADC；

③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°

；

（3）如图2，在

（2）的条件下，求证：

PB+PC+PD=BE．

29.阅读下面材料:

小伟遇到这样一个问题：

如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

小伟是这样思考的：

利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°

得到△A’BC,连接A’A,当点A落在A’C上时,此题可解（如图2）．

（1）请你回答：

AP的最大值是．

（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.

提示:

要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把⊿ABP绕B点逆时针旋转60，得到.

①请画出旋转后的图形

②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.

2016一月昌平

28.已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.

（1）如图1，已知∠AOB=150°

，∠BOC=120°

，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC.

①∠DAO的度数是；

②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；

（2）设∠AOB=α，∠BOC=β.

①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？

请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；

②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.

2017年一月昌平

29．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°

，点P为△ABC内一点．

（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点

分别为点D，A，E，连接CE．

①依题意，请在图2中补全图形；

②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．

（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．

小慧的作法是：

以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°

得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．

请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．

并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．

延伸一下

2017年一月

海淀28．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．

图1图2

（1）当α=60°

时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°

得到，连接，如图1所示．由≌可以证得是等边三角形，再由可得∠APC的大小为度，进而得到是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为；

（2）如图2，当α=120°

时，请参考

（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；

（3）PA，PB，PC满足的等量关系为．

2016年顺义一摸

28．已知：

在△ABC中，∠BAC=60°

（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=150°

，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP

①依题意补全图1；

②直接写出PB的长；

（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；

（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=，PB=5，∠APC=120°

，请直接写出PC的长．

26、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°

得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．

在矩形ABCD中，点P在矩形内，点Q在BC上，AD=5,AB=3,

求AP+DP+PQ的最小值