高考精品复习第四篇 三角函数解三角形 第1讲 任意角弧度制及任意角的三角函数Word文档下载推荐.docx

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④弧度与角度的换算：

＝2π弧度；

180°

＝π弧度．

⑤弧长公式：

l＝|α|r，

扇形面积公式：

S扇形＝lr＝|α|r2.

2．任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离为r（r＞0），那么角α的正弦、余弦、正切分别是：

sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

3．三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为（cos_α，sin_α），即P（cos_α，sin_α），其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT

为正切线

一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为：

一全正、二正弦、三正切、四余弦．

（2）终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；

终边落在y轴上的角的集合；

终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.

两个技巧

（1）在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．

（2）在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

三个注意

（1）注意易混概念的区别：

第一象限角、锐角、小于90°

的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．

（2）角度制与弧度制可利用180°

＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

（3）注意熟记0°

～360°

间特殊角的弧度表示，以方便解题．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是

（　　）．

A．2kπ＋45°

（k∈Z）B．k·

＋π（k∈Z）

C．k·

－315°

（k∈Z）D．kπ＋（k∈Z）

解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋π（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．

答案　C

2．若α＝k·

＋45°

（k∈Z），则α在（　　）．

A．第一或第三象限B．第一或第二象限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

解析　当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·

＋225°

＝m·

，故α为第三象限角；

当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·

，故α为第一象限角．

答案　A

3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（　　）．

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

解析　由sinα＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．

4．已知角α的终边过点（－1,2），则cosα的值为（　　）．

A．－B.C．－D．－

解析　由三角函数的定义可知，r＝，cosα＝＝－.

5．（2011·

江西）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.

解析　根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝＝－⇒y＝－8.

答案　－8

考向一　角的集合表示及象限角的判定

【例1】►

（1）写出终边在直线y＝x上的角的集合；

（2）若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π）内终边与角的终边相同的角；

（3）已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．

[审题视点]利用终边相同的角进行表示及判断．

解　

（1）在（0，π）内终边在直线y＝x上的角是，

∴终边在直线y＝x上的角的集合为

.

（2）∵θ＝＋2kπ（k∈Z），∴＝＋（k∈Z）．

依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.

∴k＝0,1,2，即在[0,2π）内终边与相同的角为，，.

（3）∵α是第二象限角，

∴k·

＋90°

＜α＜k·

＋180°

，k∈Z.

∴2k·

＜2α＜2k·

＋360°

∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上．

∵k·

＜＜k·

，k∈Z，

当k＝2m（m∈Z）时，m·

＜＜m·

；

当k＝2m＋1（m∈Z）时，

m·

＋270°

∴为第一或第三象限角．

（1）相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°

的整数倍．

（2）角的集合的表示形式不是唯一的，如：

终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.

【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则（　　）．

A．α＝－β

B．α＝180°

＋β

C．α＝k·

＋β（k∈Z）

D．α＝k·

±

解析　对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·

∴α＝k·

＋β（k∈Z）．

答案　D

考向二　三角函数的定义

【例2】►已知角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．

[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.

解　由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，

∴m＝±

，

故角θ是第二或第三象限角．

当m＝时，r＝2，点P的坐标为（－，），角θ是第二象限角，

∴cosθ＝＝＝－，

tanθ＝＝＝－.

当m＝－时，r＝2，点P的坐标为（－，－），角θ是第三象限角．

∴cosθ＝＝＝－，tan＝＝＝.

任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．

【训练2】（2011·

课标全国）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（　　）．

A．－B．－C.D.

解析　取终边上一点（a,2a），a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±

，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.

答案　B

考向三　弧度制的应用

【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；

（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

[审题视点]

（1）由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；

（2）利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．

解　

（1）由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，

∴α＝∠AOB＝60°

＝.

（2）由

（1）可知α＝，r＝10，

∴弧长l＝α·

r＝×

10＝，

∴S扇形＝lr＝×

×

而S△AOB＝·

AB·

＝×

10×

＝，

∴S＝S扇形－S△AOB＝50.

弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．

【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

解　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40，

S＝lr＝r（40－2r）＝r（20－r）≤2＝100.

当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.

∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．

考向四　三角函数线及其应用

【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：

（1）sinα≥；

（2）cosα≤－.

[审题视点]作出满足sinα＝，cosα＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．

解　

（1）作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域（图中阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

（2）作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为

利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤是：

（1）用边界值定出角的终边位置；

（2）根据不等式（组）定出角的范围；

（3）求交集，找单位圆中公共的部分；

（4）写出角的表达式．

【训练4】求下列函数的定义域：

（1）y＝；

（2）y＝lg（3－4sin2x）．

解　

（1）∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）．

∴定义域为（k∈Z）．

（2）∵3－4sin2x＞0，

∴sin2x＜，

∴－＜sinx＜.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），

规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值

【问题研究】三角函数的定义：

设α是任意角，其终边上任一点P（不与原点重合）的坐标为（x，y），它到原点的距离是r（r＝＞0），则sinα＝、cosα＝、tanα＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．

【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；

然后对于含参数问题要注意分类讨论．

【示例】►（本题满分12分）（2011·

龙岩月考）已知角α终边经过点P（x，－）（x≠0），且cosα＝x，求sinα、tanα的值．

只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．

[解答示范]∵P（x，－）（x≠0），

∴P到原点的距离r＝，（2分）

又cosα＝x，

∴cosα＝＝x，

∵x≠0，∴x＝±

，∴r＝2.（6分）

当x＝时，P点坐标为（，－），

由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；

（9分）

当x＝－时，P点坐标为（－，－），

∴sinα＝－，tanα＝.（12分）

当角的终边