高考精品复习第四篇 三角函数解三角形 第1讲 任意角弧度制及任意角的三角函数Word文档下载推荐.docx

1、弧度与角度的换算：2弧度；180弧度弧长公式：l|r，扇形面积公式：S扇形lr|r2.2任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离为r（r0），那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin ，cos ，tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数3三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影由三角函数的定义知，点P的坐标为（cos_，sin_），即P（cos_，sin_），其中cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其

2、反向延长线相交于点T，则tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦（2）终边落在x轴上的角的集合|k，kZ；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧（1）在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定是正值（2）在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧三个注意（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类

3、角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角（2）角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用（3）注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题双基自测1（人教A版教材习题改编）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A2k45（kZ） Bk（kZ）Ck315（kZ） Dk（kZ）解析与的终边相同的角可以写成2k（kZ），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确答案C2若k45（kZ），则在（）A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限解析当k2m1（mZ）时，2m225m，故为第三象限角；当k2m（mZ）时，m

4、，故为第一象限角答案A3若sin 0且tan 0，则是（）A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析由sin 0知是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan 0知是第一、三象限角是第三象限角4已知角的终边过点（1,2），则cos 的值为（）A B. C D解析由三角函数的定义可知，r，cos .5（2011江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P（4，y）是角终边上一点，且sin ，则y_.解析根据正弦值为负数且不为1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，y0，sin y8.答案8考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】（1）写出终边在直

5、线yx上的角的集合；（2）若角的终边与角的终边相同，求在0,2）内终边与角的终边相同的角；（3）已知角是第二象限角，试确定2、所在的象限审题视点 利用终边相同的角进行表示及判断解（1）在（0，）内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为.（2）2k（kZ），（kZ）依题意02k，kZ.k0,1,2，即在0,2）内终边与相同的角为，.（3）是第二象限角，k90k180，kZ.2k22k3602是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上kk，kZ，当k2m（mZ）时，mm；当k2m1（mZ）时，m270为第一或第三象限角 （1）相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相

6、同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍（2）角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】 角与角的终边互为反向延长线，则（）AB180Ck（kZ）Dk解析对于角与角的终边互为反向延长线，则kk（kZ）答案D考向二三角函数的定义【例2】已知角的终边经过点P（，m）（m0）且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值审题视点 根据三角函数定义求m，再求cos 和tan .解由题意得，r，m，m0，m，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为（，），角是第二象限角，cos ，tan .当m时，r2，点P的坐标为（，）

7、，角是第三象限角cos ，tan. 任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的【训练2】 （2011课标全国）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2（）A B C. D. 解析取终边上一点（a,2a），a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ，故cos 22cos21.答案B考向三弧度制的应用【例3】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.（1）求弦AB所对的圆心角的大小；（2）求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.审题视点 （1）由已知条件可

8、得AOB是等边三角形，可得圆心角的值；（2）利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积解（1）由O的半径r10AB，知AOB是等边三角形，AOB60.（2）由（1）可知，r10，弧长lr10，S扇形lr而SAOBAB10，SS扇形SAOB50. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是，半径是r，则2rr40，Slrr（402r）r（20r）2100.当且仅当r20r，即r

9、10时，Smax100.当r10，2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大考向四三角函数线及其应用【例4】在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围并由此写出角的集合：（1）sin ；（2）cos .审题视点 作出满足sin ，cos 的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围解（1）作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域（图中阴影部分）即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为（2）作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为 利用单位圆解三角不等式（组）的

10、一般步骤是：（1）用边界值定出角的终边位置；（2）根据不等式（组）定出角的范围；（3）求交集，找单位圆中公共的部分；（4）写出角的表达式【训练4】 求下列函数的定义域：（1）y； （2）ylg（34sin2x）解（1）2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）定义域为（kZ）（2）34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），规范解答7如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】 三角函数的定义：设是任意角，其终边上任一点P（不与原点重合）的坐标为（x，y），它到原点的距离是r（r0），则si

11、n 、cos 、tan 分别是的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论【示例】（本题满分12分）（2011龙岩月考）已知角终边经过点P（x，）（x0），且cos x，求sin 、tan 的值 只要确定了r的值即可确定角经过的点P的坐标，即确定角所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值解答示范 P（x，）（x0），P到原点的距离r，（2分）又cos x，cos x，x0，x，r2.（6分）当x时，P点坐标为（，），由三角函数定义，有sin ，tan ；（9分）当x时，P点坐标为（，），sin ，tan .（12分） 当角的终边