高中数学独立性检验的基本思想及其初步应用 新人教A版选修12Word文档格式.docx
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一、学习要求：
通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用
学习重点：
对独立性检验的基本思想的理解.
学习难点：
独立性检验的基本思想的应用.
二、学习过程：
知识点详解
知识点一：
分类变量
对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
知识点二：
列联表
为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了9965人，得到如下结果（单位：
人）：
吸烟与患肺癌列联表
不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟
7775
42
7817
吸烟
2099
49
2148
9874
91
9965
像上表这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.
知识点三：
独立性检验
这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
知识点四：
判断结论成立的可能性的步骤
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为｛x1，x2｝和｛y1，y2｝，其样本频数列联表（称为2×
2列联表）为：
2×
2列联表
y1
y2
x1
x
b
x＋b
x2
c
d
c＋d
x＋c
b＋d
x＋b＋c＋d
若要推断的论述为
H1：
“X与Y有关系”，
可以按如下步骤判断结论H1成立的可能性：
（1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.
①在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积xd与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大.
②在二维条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例.两个比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大.
（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法是：
根据观测数据计算由K2＝给出的检验随机变量K2的值k，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大.当得到的观测数据x，b，c，d都不小于5时，可以通过查阅下表来确定断言“X与Y有关系”的可信程度.
P（K2≥k）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
说明：
当观测数据x，b，c，d中有小于5时，需采用很复杂的精确的检验方法.
五、几个典型例题：
例1 三维柱形图中柱的高度表示的是 （A）
A．各分类变量的频数 B．分类变量的百分比
C．分类变量的样本数 D．分类变量的具体值
例2 分类变量X和Y的列联表如下
则下列说法正确的是 （C）
X．xd－bc越小，说明X和Y关系越弱
B．xd－bc越大，说明X和Y关系越强
C．（xd－bc）2越大，说明X和Y关系越强
D．（xd－bc）2越接近于0，说明X和Y关系越强
例3 研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：
作肯定的18名，不定的42名；
男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名.问：
性别与态度之间是否存在某种关系？
分别用图形和独立性检验的方法判断.
解：
根据题目所给数据建立如下列联表
性别
肯定
否定
男生
22
88
110
女生
18
60
40
130
170
根据列联表中的数据得到K2＝≈2.158＜2.706
因此没有充分的证据显示“性别与态度有关”.
例4 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种病症有关.下表是一次调查所得的数据，试问：
每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？
患心脏病
未患心脏病
每一晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1355
1379
54
1579
1633
根据列联表中数据，得到，
K2＝＝68.033.
因为68.033＞6.635，所以有99%的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关
课后练习与提高
为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：
所求非线性回归方程为.）
2019-2020年高中数学独立性检验的基本思想及其初步应用教学案新人教A版选修2-2
教学目标
（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用；
（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。
教学重点：
独立性检验的基本方法
教学难点：
基本思想的领会及方法应用
教学过程
一、问题情境
5月31日是世界无烟日。
有关医学研究表明，许多疾病，例如：
心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。
这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？
我们看一下问题：
某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。
调查结果是：
吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；
不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。
问题：
根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？
二、学生活动
（1）引导学生将上述数据用下表
（一）来表示：
（即列联表）
（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：
在不吸烟者中，有≈0.54％的人患肺癌；
在吸烟的人中，有≈2.28％的人患肺癌。
由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？
把握有多大？
三、建构数学
1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表，柱形图和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。
但这种结论能否推广到总体呢？
要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。
2、独立性检验：
（1）假设：
患肺癌与吸烟没有关系。
即：
“吸烟与患肺癌相互独立”。
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则有P（AB）=P（A）P（B）
若将表中“观测值”用字母代替，则得下表
（二）：
未患肺癌
合计
学生活动：
让学生利用上述字母来表示对应概率，并化简整理。
思考交流：
越小，说明患肺癌与吸烟之间的关系越（强、弱）？
（2）构造随机变量（其中）
由此若成立，即患肺癌与吸烟没有关系，则K2的值应该很小。
把表中的数据代入计算得K2的观测值k约为56.632，统计学中有明确的结论，在成立的情况下，随机事件P（K2≥6.635）≈0.01。
由此，我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。
上面这种利用随机变量K2来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。
估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率，利用K2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据取值越大，效果越好。
在实际应用中，当均不小于5，近似的效果才可接受。
（2）这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。
（3）在假设成立的情况下，统计量K2应该很小，如果由观测数据计算得到K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量K2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）。
3、对于两个分类变量A和B，推断“A和B有关系”的方法和步骤为：
①利用三维柱形图和二维条形图；
②独立性检验的一般步骤：
第一步，提出假设：
两个分类变量A和B没有关系；
第二步，根据2×
2列联表和公式计算K2统计量；
第三步，查对课本中临界值表，作出判断。
4、独立性检验与反证法：
反证法原理：
在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；
独立性检验原理：
在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。
四、数学运用
例1在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；
而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？
你所得的结论在什么范围内有效？
①第一步：
教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；
第二步：
教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；
第三步：
由学生计算出的值；
第四步：
解释结果的含义.
②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.
变式练习：
课本P97练习
【板书设计】：
【作业布置】：
课本P97习题3.2第1题
3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用
课前预习
阅读教材P91-P95，了解相关概念，如：
分类变量、列联表、独立性检验。
学习目标
基本思想的领会
学习过程
一、情境引入
心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号
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