高中数学新学案同步 必修2 人教A版 全国通用版 第三章 直线与方程章末复习文档格式.docx
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(1)两点间的距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则|P1P2|=.
(2)点到直线的距离公式
①点P(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离d=;
②两平行直线l1:
Ax+By+C1=0与l2:
Ax+By+C2=0的距离d=.
类型一 待定系数法的应用
例1 直线l被两条直线l1:
4x+y+3=0和l2:
3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),求直线l的方程.
考点 待定系数法的应用
题点 待定系数法求直线方程
解 方法一 设直线l与l1的交点为A(x0,y0),由已知条件,得直线l与l2的交点为B(-2-x0,4-y0),
并且满足
即
解得所以A(-2,5).
因此直线l的方程为=,
即3x+y+1=0.
方法二 由题意知,直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.
由
得x=.
则+=-2,
解得k=-3.
因此所求直线方程为y-2=-3(x+1),
方法三 两直线l1和l2的方程为
(4x+y+3)(3x-5y-5)=0,①
将上述方程中(x,y)换成(-2-x,4-y),
整理可得l1与l2关于(-1,2)对称图形的方程为
(4x+y+1)(3x-5y+31)=0.②
①-②整理得3x+y+1=0,即为所求直线方程.
反思与感悟 待定系数法,就是所研究的式子(方程)的结构是确定的,但它的全部或部分系数是待定的,然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的,一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;
与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.
跟踪训练1 过点P(6,8)作两条互相垂直的射线PA,PB,分别交x轴,y轴正方向于点A,B.若S△AOB=S△APB,求PA与PB所在直线的方程.
考点 待定系数的应用
解 设A(a,0),B(0,b)(a>
0,b>
0),
则直线AB的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0.
因为S△AOB=S△APB,
所以O,P两点到直线AB的距离相等,
由点到直线的距离公式得=,
解得ab=4a+3b①或4a+3b=0(与a>
0矛盾,舍去).
由PA⊥PB,得·
=-1,即3a+4b=50②,
联立①②,解得或所以直线PA:
x=6,直线PB:
y=8或直线PA:
24x+7y-200=0,直线PB:
7x-24y+150=0.
类型二 分类讨论思想的应用
例2 过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.
考点 分类讨论思想的应用
题点 分类讨论思想的应用
解 当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1,符合题意.
当直线的斜率存在时,设其斜率为k,则两条直线的方程分别为y=k(x+1),y-2=kx.
令y=0,得x=-1与x=-.
由题意得=1,即k=1.
∴两条直线的方程分别为y=x+1,y=x+2,
即x-y+1=0,x-y+2=0.
综上可知,所求的两条直线的方程分别为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.
反思与感悟 本章涉及直线方程的形式时,常遇到斜率的存在性问题的讨论,如两直线平行(或垂直)时,斜率是否存在;
已知直线过定点时,选择点斜式方程,要考虑斜率是否存在.
跟踪训练2 求在两坐标轴上截距相等,且到点A(3,1)的距离为的直线的方程.
解 当直线过原点时,设直线的方程为y=kx,
即kx-y=0.
由题意知=,
解得k=1或k=-.
所以所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0.
当直线不经过原点时,
设所求直线的方程为+=1,
即x+y-a=0.
解得a=2或a=6.
所以所求直线的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.
综上可知,所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.
类型三 最值问题
例3 在直线y=x+2上求一点P,使得点P到直线l1:
3x-4y+8=0和直线l2:
3x-y-1=0的距离的平方和最小.
考点 点到直线的距离
题点 与点到直线的距离有关的最值问题
解 设P(x0,x0+2),
设点P到直线l1的距离为d1,
点P到直线l2的距离为d2,
令y=d+d=2+2,
整理得y=,
∴当x0==时,y最小,
此时y0=x0+2=,
∴P.
反思与感悟 将几何问题转化为函数求最值,是一种常用的求最值的方法.
跟踪训练3 在平面直角坐标系中,动点P到两条直线3x-y=0与x+3y=0的距离之和等于2,则点P到坐标原点的距离的最小值为________.
考点 两点间的距离公式
题点 两点间距离公式的综合应用
答案
解析 ∵3x-y=0与x+3y=0互相垂直,且交点为原点,
∴设P到直线的距离分别为a,b,则a≥0,b≥0,
则a+b=2,即b=2-a≥0,
得0≤a≤2.
由勾股定理可知,|OP|===,
∵0≤a≤2,
∴当a=1时,OP的距离最小为.
例4 已知直线l:
x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).
(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小;
(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||最大.
考点 对称问题的求法
题点 关于对称的综合应用
解
(1)设A关于直线l的对称点为A′(m,n),
则
解得故A′(-2,8).
因为P为直线l上的一点,
则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,
当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点P即是直线A′B与直线l的交点,
解得
故所求的点P的坐标为(-2,3).
(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,
则||PB|-|PA||≤|AB|,
当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2,
故所求的点P的坐标为(12,10).
反思与感悟
(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|取得最小值时,若点A,B在直线l的同侧,则作点A(或点B)关于l的对称点A′(或点B′),连接A′B(或AB′)交l于点P,则点P即为所求;
若点A,B位于直线l的异侧,直接连接AB交l于点P,则点P即为所求.可简记为“同侧对称异侧连.”
(2)在直线l上求一点P,使||PA|-|PB||取得最大值时,方法与
(1)恰好相反,即“异侧对称同侧连”.
跟踪训练4 已知定点A(3,1),动点M和点N分别在直线y=x和y=0上运动,则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为________.
解析 如图所示,分别作出点A关于直线y=x与x轴的对称点A1(1,3),A2(3,-1).
连接A1A2与直线y=x相交于点M,与x轴相交于点N,则满足条件.
直线A1A2的方程为y-3=(x-1),
化为2x+y-5=0,
联立解得x=y=.
∴M.
1.若方程(6a2-a-2)x+(3a2-5a+2)y+a-1=0表示平行于x轴的直线,则a的值是( )
A.B.
C.,-D.-
考点 直线的一般式方程与直线的平行关系
题点 根据平行求参数的值
答案 D
解析 因为平行于x轴的直线的斜率为零,所以由直线的一般式方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)得k=-=0⇒A=0,B≠0,即解得a=-.本题易错在忽视B≠0这一条件而导致多解.
2.已知直线l不经过第三象限,若其斜率为k,在y轴上的截距为b(b≠0),则( )
A.kb<
0B.k≤0,b>
C.k<
0D.kb≥0
考点 直线的斜截式方程
题点 直线斜截式方程的应用
答案 B
解析 由题意得直线l的方程为y=kx+b(b≠0),
∵直线l不经过第三象限,
∴k≤0,b>
0.
3.和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A.3x+4y+5=0B.3x+4y-5=0
C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0
题点 直线关于直线的对称问题
答案 A
解析 设所求直线上任意一点(x,y),
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),
因为点(x,-y)在直线3x-4y+5=0上,
所以3x+4y+5=0.
4.已知直线kx-y+1-k=0恒过定点A,且点A在直线mx+ny-1=0(m>
0,n>
0)上,则mn的最大值为( )
C.2D.4
考点 恒过定点的直线
题点 恒过定点的直线的应用
解析 直线kx-y+1-k=0,
可化为k(x-1)+1-y=0,
可知A(1,1),
∴m+n=1,即n=1-m.
∴mn=m(1-m)=-m2+m=-2+,
即当m=时,mn取得最大值.
5.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(0,1),B(3,2).
(1)若C点坐标为(1,0),求AB边上的高所在的直线方程;
(2)若点M(1,1)为边AC的中点,求边BC所在的直线方程.
考点 中点坐标公式
题点 与中线有关的问题
解
(1)∵A(0,1),B(3,2),
∴kAB==,
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率k=-3,
∴AB边上的高所在直线方程为y-0=-3(x-1),
化为一般式可得3x+y-3=0.
(2)∵M为AC的中点,
∴C(2,1),
∴kBC==1,
∴BC所在直线方程为y-1=x-2,
化为一般式可得x-y-1=0.
1.一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);
与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
2.过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
一.选择题
1.已知直线PQ的斜率为-,则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°
所得的直线的斜率是( )
A.-B.0C.D.
考点 直线的斜率
题点 由斜率公式计算斜率
答