三角函数的图象与性质(学生)文档格式.doc
《三角函数的图象与性质(学生)文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角函数的图象与性质(学生)文档格式.doc(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
单调性
在
上是增函数;
在
上是减函数。
在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性
对称中心:
对称轴:
对称中心:
无对称轴
3、函数的性质:
最大值是,最小值是,
振幅,周期是,频率是,相位是,初相是.
*对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
*求三角函数的单调区间:
一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
*求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
*五点法作y=Asin(ωx+)的简图:
五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。
4.由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:
先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,得到函数的
图象;
再将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍(横坐标伸长(缩短)到原来的倍
(纵坐标不变))(ω>0),便得的图象,再将函数的图象上所有点的纵坐标
伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.再将数的图象
上各点整体向上(B>
0)或向下(B<
0)平移B个单位,得到函数的图像。
途径二:
先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变))(ω>0),便得的图象,再将函数的图象上所有点再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得便得的图象,再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.再将数的图象上各点整体向上(B>
题型1:
三角函数的定义域、值域
例1求下列函数的定义域:
(1)y=lgsin(cosx);
(2)y=.
解
(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)>0.
∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.
方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k<x<+2k,k∈Z}.
方法二利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0<OM≤1,
∴OM只能在x轴的正半轴上,
∴其定义域为
.
(2)要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.
方法一利用图象.在同一坐标系中画出[0,2]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.
在[0,2]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2,
所以定义域为.
方法二利用三角函数线,
如图MN为正弦线,OM为余弦线,
要使sinx≥cosx,即MN≥OM,
则≤x≤(在[0,2]内).
∴定义域为
方法三sinx-cosx=sin≥0,
将x-视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质
可知2k≤x-≤+2k,
解得2k+≤x≤+2k,k∈Z.
题型2:
三角函数的图象
例2.函数y=-xcosx的部分图象是()
解析:
因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。
答案为D。
例3.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是()
由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]为非奇非偶函数。
选项A、D为奇函数,B为偶函数,C为非奇非偶函数。
点评:
利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型3:
三角函数图象的变换
例4.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。
y=sin(2x+)
另法答案:
(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;
(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;
(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。
例5已知函数y=2sin,
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
解
(1)y=2sin的振幅A=2,周期T==,
初相=.
(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表,并描点画出图象:
(3)方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象;
再将y=sin2x的图象向左平移个单位;
得到y=sin2=sin的图象;
再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin的图象.
例6.如图为y=Asin(x+)的图象的一段,求其解析式.
解方法一以N为第一个零点,
则A=-,T=2=,
∴=2,此时解析式为y=-sin(2x+).
∵点N,∴-×
2+=0,∴=,
所求解析式为y=-sin. ①
方法二由图象知A=,
以M为第一个零点,P为第二个零点.
列方程组解之得.
∴所求解析式为y=sin.
例7.(2002全国文5,理4)在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x取值范围为()
A.(,)∪(π,)B.(,π)
C.(,)D.(,π)∪(,)
C;
解法一:
作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标和,由图1可得C答案。
图1图2
解法二:
在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选C。
(如图2)
题型4:
三角函数的单调性
例8.求下列函数的单调区间:
(1)y=sin(-);
(2)y=-|sin(x+)|。
分析:
(1)要将原函数化为y=-sin(x-)再求之。
(2)可画出y=-|sin(x+)|的图象。
解:
(1)y=sin(-)=-sin(-)。
故由2kπ-≤-≤2kπ+。
3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;
由2kπ+≤-≤2kπ+。
3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间。
∴递减区间为[3kπ-,3kπ+],
递增区间为[3kπ+,3kπ+](k∈Z)。
(2)y=-|sin(x+)|的图象的增区间为[kπ+,kπ+],减区间为[kπ-,kπ+]。
例9.函数y=2sinx的单调增区间是()
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
A;
函数y=2x为增函数,因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。
题型5:
三角函数的奇偶性、周期性
例10.(2008·
天津理,3)设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是(填序号).
①最小正周期为的奇函数②最小正周期为的偶函数
③最小正周期为的奇函数④最小正周期为的偶函数
答案②
题型6:
三角函数的最值
例11.设M和m分别表示函数y=cosx-1的最大值和最小值,则M+m等于()
A.B.-C.-D.-2
D;
因为函数g(x)=cosx的最大值、最小值分别为1和-1。
所以y=cosx-1的最大值、最小值为-和-。
因此M+m=-2。
1.求f(x)=的定义域和值域.
解由函数1-cos≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函数的定义域是
Z
当sinx=cos=时,ymin=0;
当sinx=cos=-1时,ymax=.
所以函数的值域为[0,].
2.
(1)求函数y=sin的单调递减区间;
(2)求y=3tan的周期及单调区间.
解
(1)方法一令u=,y=sinu,利用复合函数单调性,
由2k-≤-2x+≤2k+(k∈Z),得
2k-≤-2x≤2k+(k∈Z),
-k-≤x≤-k+(k∈Z),
即k-≤x≤k+(k∈Z).
∴原函数的单调递减区间为
(k∈Z).
方法二由已知函数y=-sin,欲求函数的单调递减区间,只需求y=sin的单调递增区间.
由2k-≤2x-≤2k+(k∈Z),
解得k-≤x≤k+(k∈Z).
∴原函数的单调递减区间为(k∈Z).
(2)y=3tan=-3tan,
∴T==4,∴y=3tan的周期为4.
由k-<<k+,
得4k-<x<4k+(k∈Z),
y=3tan的单调增区间是
(k∈Z)
∴y=3tan的单调递减区间是
3.已知函数y=3sin
(1)用五点法作出函数的图象;
(2)说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的;
(3)求此函数的振幅、周期和初相;
(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.
解
(1)列表:
描点、连线,如图所示:
(2)方法一“先平移,后伸缩”.
先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位,得到y=sin的图象;
再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到
y=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.
方法二“先伸缩,后平移”
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象;
再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位,
得到y=sin(x-)=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.
(3)周期T===4,振幅A=3,初相是-.
(4)令