全国初中数学竞赛试题及答案Word下载.docx
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a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,y
记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。
A、p>
qB、p=qC、p<
qD、p、q大小关系不能确定
01x
6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。
2、x=___。
3、若实数x、y满足则x+y=__。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:
A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°
-A中的最小者,则a的最大值为___。
三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明:
一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。
2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明:
BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。
3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。
2005年全国联赛决赛试卷详解
解:
所以选D
由题意得:
52+142-2×
5×
14×
cosα=102+112-2×
10×
11×
cos(180°
-α)
∴221-140cosα=221+220cosα
∴cosα=0
∴α=90°
∴四边形的面积为:
7+5×
11=90
∴选C
3、设r≥4,a=,b=,c=,则下列各式一定成立的是__。
解法1:
用特值法,取r=4,则有
a=,b=,
c=
∴c>
a,选D
解法2:
a=,
b=
解法3:
∵r≥4 ∴<1
∴
c=
∴a<
b<
c,选D
由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积
∴
由垂径定理得公共弦为
∴选D
5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,
a<
0,b>
0,c=0
∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b|
又
∴p=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a,
q=|a+b|+|2a-b|=a+b+b-2a=2b-a
∴p<
q,选C
因为x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式:
242=2·
(-2)·
4·
6·
(-6)
所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)
所以(2005-x1)2+(2005-x2)2+(2005-x3)2+(2005-x4)2+(2005-x5)2=22+(-2)2+42+62+(-6)2=96
展开得:
(3×
1+3×
2+……3×
33)+(5×
1+5×
2+……5×
20)-(15×
1+15×
2+……15×
6)=1683+1050-315=2418
分子有理化得:
∵x≠0,
∴
两边平方化简得:
再平方化简得:
假设x+y=a,则y=a-x
易知
化简得:
设
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根.
2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE与BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:
F、G、T三点共线。
证法1:
设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt△BEC与Rt△BDC中,由射影定理得:
CE2=CN·
CB,BD2=BM·
BC
又Rt△CNG∽Rt△DCB,Rt△BMF∽Rt△BEC,
在Rt△BEC与Rt△BDC中,由面积关系得:
BE·
CE=EN·
BC,BD·
CD=DM·
由
(1)
(2)得:
证法2:
设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM∥AR∥EN
由合比定理得:
证法3:
在△ABC中,直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得:
设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH∥DF∥EG
由梅涅劳斯定理的逆定理得:
F、G、T三点共线.
证法4:
连结FT交EN于G’,易知
为了证明F、G、T三点共线,只需证明即可
∵
又
∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE=∠ACD
(2)
又 (3)
将
(2)(3)代入
(1)得:
,故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。
显然c>1.由题设得:
(c2-a)(c2+a)=b3
若取
由大到小考察b,使为完全平方数,易知当b=8时,c2=36,则c=6,从而a=28。
下面说明c没有比6更小的正整数解,列表如下:
c
c4
x3(x3<
c4)
c4-x3
2
16
1,8
17,8
3
81
1,8,27,64
80,73,54,17
4
256
1,8,27,64,125,216
255,248,229,192,131,40
5
625
1,8,27,64,125,216,343,512
624,617,598,561,500,409,282,113
显然,表中c4-x3的值均不是完全平方数。
故c的最小值为6
参考答案:
一、1、D原式=
2、C∵52+142=221=102+112∠A、∠C都是直角
3、D
4、D 5、C 6、A
二、1、2418 2、 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15°
三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。