江西省南昌市学年高二数学上学期期末考试试题文.docx
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江西省南昌市学年高二数学上学期期末考试试题文
2017-2018学年度上学期期末考试
高二数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.复数的共轭复数是（ ）．
A．－iB.iC．－iD．i
2.函数f（x）＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．由a确定
3.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是（ ）．
A．2x－y＋3＝0B．2x－y－1＝0
C．2x－y＋1＝0D．2x－y-3＝0
4.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
5.下列判断错误的是（）
A．若为假命题，则至少之一为假命题
B.命题“”的否定是“”
C．“若且，则”是真命题
D．“若，则”的否命题是假命题
6.函数f（x）＝x2－2lnx的单调递减区间是（ ）
A．（0,1）B．（1，＋∞）C．（－∞，1）D．（－1,1）
7.若函数f（x）＝x3－6bx＋3b在（0,1）内有最小值，则实数b的取值范围是（ ）
A．（0,1）B.C．（－∞，1）D．（0，＋∞）
8.函数f（x）＝sinx＋2xf′（），f′（x）为f（x）的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是（ ）
A．f（a）f（b） C．f（a）＝f（b） D．f（|a|）>f（b）
9.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
10.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
11.已知椭圆：
，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（）
A．1B．C．D．
12.已知函数f（x）满足f（x）＝f（π－x），且当x∈时，f（x）＝ex＋sinx，则（ ）
A．f（3）＜f
（1）＜f
（2）B．f
（2）＜f（3）＜f
（1）C．f（3）＜f
（2）＜f
（1）D．f
（1）＜f
（2）＜f（3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13.函数y＝2－x＋4在点（-,）处的切线的斜率为.
14.若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
15.若曲线（α∈R）在点（1,2）处的切线经过坐标原点,则α=.
16.已知函数f（x）＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f
（1））处的切线方程和极值
18.（本小题满分12分）
已知p：
指数函数f（x）＝（2a－6）x在R上是单调减函数；q：
关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
19.（本题满分12分）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：
3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．
20.（本题满分12分）已知两点A（-2,0）、B（2,0）,动点P与A、B两点连线的斜率kPA、kPB满足kPA·kPB=-.
（1）求动点P的轨迹E的方程;
（2）若H是曲线E与y轴正半轴的交点,则曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,请说明满足条件的M、N有几对;若不存在,请说明理由.
21.（本题满分12分）已知函数，g（x）alnxx（a0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：
当a>0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）
22.（本题满分12分）平面直角坐标系中，曲线.直线经过点，且倾斜角为.以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.
南昌三中2016—2017学年度上学期
高二期终考试数学（文）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.复数的共轭复数是（ C ）．
A．－iB.iC．－iD．i
2.函数f（x）＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是（ A ）
A．0B．1C．2D．由a确定
3.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是（ B ）．
A．2x－y＋3＝0B．2x－y－1＝0
C．2x－y＋1＝0D．2x－y-3＝0
4.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（A）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
5.下列判断错误的是（C）
A．若为假命题，则至少之一为假命题
B.命题“”的否定是“”
C．“若且，则”是真命题
D．“若，则”的否命题是假命题
6.函数f（x）＝x2－2lnx的单调递减区间是（ A ）
A．（0,1）B．（1，＋∞）C．（－∞，1）D．（－1,1）
7.若函数f（x）＝x3－6bx＋3b在（0,1）内有最小值，则实数b的取值范围是（B ）
A．（0,1）B.C．（－∞，1）D．（0，＋∞）
8.函数f（x）＝sinx＋2xf′（），f′（x）为f（x）的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是（ B ）
A．f（a）f（b） C．f（a）＝f（b） D．f（|a|）>f（b）
9.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（A）
A.B.C.D.
10.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ A ）
A.B.C.D.
11.已知椭圆：
，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（B）
A．1B．C．D．
12.已知函数f（x）满足f（x）＝f（π－x），且当x∈时，f（x）＝ex＋sinx，则（ A ）
A．f（3）＜f
（1）＜f
（2）B．f
（2）＜f（3）＜f
（1）C．f（3）＜f
（2）＜f
（1）D．f
（1）＜f
（2）＜f（3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13.函数y＝2－x＋4在点（-,）处的切线的斜率为.
14.若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 a>3或a<-1 ．
15.若曲线（α∈R）在点（1,2）处的切线经过坐标原点,则α=____2_____.
16.已知函数f（x）＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为___m≥1_____．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f
（1））处的切线方程和极值
答案:
X＋y－2=0；x=2时f（x）取得极少值2，无极大值。
18.（本小题满分12分）
已知p：
指数函数f（x）＝（2a－6）x在R上是单调减函数；q：
关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
答案 （，3]∪[，＋∞）
解析 p真，则指数函数f（x）＝（2a－6）x的底数2a－6满足0<2a－6<1，所以3q真，令g（x）＝x2－3ax＋2a2＋1，易知其为开口向上的二次函数．因为x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，所以①Δ＝（－3a）2－4（2a2＋1）＝a2－4>0，a<－2或a>2；②对称轴x＝－＝>3；③g（3）>0，即32－9a＋2a2＋1＝2a2－9a＋10>0，所以（a－2）（2a－5）>0.所以a<2或a>.
由得a>.p真q假，由3，得19.（本题满分12分）
已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：
3x－y＋1＝0，
若x＝时，y＝f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析：
（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f（x）有极值，
则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为x＝1，∴f
（1）＝4，∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.
∴a＝2，b＝－4，c＝5.
（2）由
（1）可得f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′（x）＝3x2＋4x－4，令f′（x）＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：
x
－3
（－3，－2）
－2
1
y′
＋
0
－
0
＋
y
8
单调递增↗
13
单调递减↘
单调递增↗
4
∴y＝f（x）在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
20.（本题满分12分）
已知两点A（-2,0）、B（2,0）,动点P与A、B两点连线的斜率kPA、kPB满足kPA·kPB=-.
（1）求动点P的轨迹E的方程;
（2）若H是曲线E与y轴正半轴的交点,则曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,请说明满足条件的M、N有几对;若不存在,请说明理由.
【答案】
（1）设点P的坐标为（x,y）（x≠±2）,则kPA=,kPB=.
依题意kPA·kPB=-,所以·=-,化简得+y2=1,
所以动点P的轨迹E的方程为+y2=1（x≠±2）.（注:
如果未说明x≠±2（或y≠0）,扣1分.）
（2）假设能构成等腰直角三角形HMN,其中直角顶点H为（0,1）.
由题意可知,直角边HM、HN不可能垂直或平行于x轴,
故可设HM所在直线的方程为y=kx+1（k>0）,则HN所在直线的方程为y=-x+1.
联立,消去y整理得（1+4k2）x2+8kx=0,得xM=-,
将xM=-代入y=kx+1可得yM=-+1,故点M的坐标为（-,+1）.
所以|HM|=,同理可得|HN|=,
由|HM|=|HN|,得k（4+k2）=1+4k2,所以k3-4k2+4k-1=0,整理得（k-1）（k2-3k+1）=0,解得k=1或k=.
当直线HM的斜率k=1时,直线HN的斜率为-1;当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为;
当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为.综上所述,符合条件的M、N有3对.
21.（本题满分12分）
已知函数，g（x）alnxx（a0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：
当a>0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g
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