趣味数学114不可思议的“雪花曲线”_精品文档Word格式.doc

趣味数学114不可思议的“雪花曲线”_精品文档Word格式.doc

《趣味数学114不可思议的“雪花曲线”_精品文档Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《趣味数学114不可思议的“雪花曲线”_精品文档Word格式.doc（3页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

　　第三步：

再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化（如图）。

　　第四步：

第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。

现在来计算“雪花曲线”（所围成的图形）的面积和周长。

从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。

所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。

观察发现：

规律一：

每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；

规律二：

每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的1/9（参看下图）。

一、“雪花曲线”的面积：

为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。

第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；

每个小等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×

1/9。

第二步以后，边数变成3×

4，向外作了3×

4个小等边三角形；

每个小等边三角形的面积是（1/9）2，增加的面积是3×

4×

（1/9）2。

第三步以后，边数变成3×

42，向外作了3×

42个小等边三角形；

每个小等边三角形的面积是（1/9）3，增加的面积是3×

42×

（1/9）3。

第四步以后，边数变成3×

43，向外作了3×

43个小等边三角形；

每个小等边三角形的面积是（1/9）4，增加的面积是3×

43×

（1/9）4。

依次类推，第n步以后，边数变成3×

4n-1，向外作了3×

4n-1个小等边三角形；

每个小等边三角形的面积是（1/9）n，增加的面积是3×

4n-1×

（1/9）n。

于是，“雪花曲线”的面积

S雪＝1＋3×

1/9＋3×

（1/9）2＋3×

（1/9）3＋3×

（1/9）4＋…＋3×

（1/9）n＋…

化简，由第3项开始，从每项的最后一个因数中，拿出1个1/9，与前面的3乘在一起，于是：

1/9＋（3×

1/9）×

（4×

1/9）＋（3×

1/9）2＋（3×

1/9）3＋…＋（3×

1/9）n-1＋…

＝1＋1/3＋1/3×

4/9＋1/3×

（4/9）2＋1/3×

（4/9）3＋…＋1/3×

（4/9）n-1＋…

＝1＋1/3[1＋4/9＋（4/9）2＋（4/9）3＋…＋（4/9）n-1]＋…

中括号里面是一个首项为1，公比为4/9的无穷等比数列。

根据等比数列的求和公式，首项为a，公比为q时，等比数列前n项的和

Sn＝a（1－qn）/（1－q）。

对于q＜1的无穷等比数列来说，qn趋于0，

S＝a/（1－q）。

这里，a＝1，q＝4/9＜1，所以，中括号里面的和等于1/（1－4/9）＝9/5。

于是，“雪花曲线”的面积是

S雪＝1＋1/3×

9/5＝1＋3/5＝8/5。

即，“雪花曲线”的面积是原来等边三角形的8/5倍。

二、“雪花曲线”的周长：

因为，周长＝边长×

边数，而每次变化后，边长是原来的1/3，边数是原来的4倍，所以，周长是原来的1/3×

4＝4/3。

也就是说，每次变化后，边长都比原来增加1/3。

随着变化的持续进行，周长会变得越来越大，以至无穷。

这就是“雪花曲线”的非同寻常之处：

它的面积是有限的；

它的周长却是无限的。

是不是“不可思议”？

！