影院座位设计的数学模型_精品文档Word文档格式.doc
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（3）地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
模型假设：
1、观众的满意程度主要取决于视角α-β，越大越好。
2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。
3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y）。
模型建立：
根据题目，结合模型假设，有
Y=xtantanα=tanβ=
tan（==
模型求解：
（1）令f（x）=（d+x）+
为增函数
要使tan（）最大，即视角最大，只需f（x）最小，为此，我们对f（x）求导
f′（x）=1+
=1+
令f′（x）=0
x=（0≤x≤14.5）
0≤x<
f’（x）>
<
x≤14.5f’（x）<
因此，tan（）在x=处取得最大值。
将a=3.9,b=4.5,=10度代入上式，解得x=3.7m
综上，当地板倾角=10度时，最佳座位在离屏幕水平距离为4.5+3.7=8.2m处。
（2）假设相邻两排观众间的水平距离为1m，那么观众所在位置的横坐标x的取值范围为0---14.5，x为整数。
下面结合模型，利用VB语言编写程序，分别求出地板倾角θ=1，2，----，20度时的平均视角，从而找出使得平均视角最大的θ的值。
具体程序见附录①，程序运行结果如下：
结果分析：
从以上数据可看出，随着地板倾角θ的增大，平均视角也在增大。
那么，这是否意味着θ=20度就是所求结果呢？
当然不是，我们还得考虑如下问题：
处在最后一排的观众的水平视线应该位于屏幕中线以下，否则观众就得低着头看电影了，这与实际不符。
我们可用如下数学语言来描述这个问题：
假设最后一排观众所在位置的地板高为h，则由题目数据及以上分析可得h≤5-1.8/2-1.1=3m。
对于此限制条件，可用VB语言描述，具体程序见附录②，程序运行结果如下：
以上数据就是地板倾角在不同取值时，最后一排所在位置的地板高度，不难看出，当地板倾角θ=12度时，h≈3m，最符合限制条件。
综上，地板的倾角应为12度。
敏感性分析：
由于地板倾角的取值和相邻两排座位间的水平距离都是假设的，因此需要对二者（即t,x）作敏感性分析。
首先我们研究地板倾角在12度附近变化时对平均视角的影响。
假设相邻两排座位间的水平距离x不变，利用VB分别求出地板倾角为11.5、12.6、----、12.4、12.5度时的平均视角，具体程序见附录③，程序运行结果如下：
从以上数据可知，当地板倾角θ在12度附近变化时，对平均视角并无多大影响，这说明对地板倾角的假设是可用的。
下面我们研究相邻两排座位间的水平距离改变时对平均视角的影响。
结合实际，间距可取为0.7m、0.8m、0.9m.假设地板倾角不变，利用VB求出不同间距所对应的平均视角，具体程序见附录④，程序运行结果如下：
我们可以挑取某一地板倾角对应的平均视角进行比较，在此以12度为例。
Step（）
Step
（1）
Step（0.9）
Step（0.8）
Step（0.7）
A（12）
2.904829
2.904831
2.904833
2.65224
从以上比较结果可知，相邻两排间的水平间距取0.8m为宜。
（3）首先证明如下结论：
如图所示，随着点A的下降（点A位于点C所在水平线上），α逐渐减小。
证明：
cosα=≥=1-
∵随着点A的下降，a,b都在增大
∴1-增大，即cosα增大
又∵0〈α〈90º
∴α逐渐减小
基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位，从而增大视角和平均视角，进一步提高观众的满意程度。
地板可设计如下：
值得注意的是，ab、cd不能太长，否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线，不符合题目要求。
另外，cd应该稍低于屏幕下边缘所在水平线，否则后排观众将不能看到屏幕下边缘。
附录
①PrivateSubForm_Click（）
Dimx%,t%,f!
y!
a（20）
Constpi=3.14
f=0
y=1.8/（4.5+x+（16-8.2*（Tan（pi*t/180））+（Tan（pi*t/180））^2*x^2）/（4.5+x））
Fort=0To20
Forx=0To20
f=f+y
Nextx
a（t）=f/21
Nextt
Fort=0To18Step（3）
Print"
a（"
;
t;
"
）"
="
a（t）;
t+1;
a（t+1）;
t+2;
a（t+2）
Print
Nextt
EndSub
②PrivateSubForm_Click（）
Dimy!
x!
t%,h（20）
y=14.5*Tan（t*pi/180）
h（t）=y
Print"
h（"
h（t）;
h（t+1）;
h（t+2）
Print
③PrivateSubForm_Click（）
Dimx%,t!
f!
Fort=11.5To12.5Step（0.1）
Forx=0To14
a（t）=f/15
a（t）
④PrivateSubForm_Click（）
【参考文献】：
【1】姜启源谢金星叶俊《数学模型》高等教育出版社
【2】朱道元《数学建模案例精选》科学出版社
Mathematicalmodelingfortheaterseatdesign
WuXiaogang
【Abstract】Asimplemathematicalmodelingissetupinviewoftheaverageangleofview,abestpositionofviewingisacquired,.Furtherlythefloordesignprogrammersforpromotingthewatcherssatisfactionisproposed.
【Keywords】PerspectiveAverageperspectiveModelMathematicalmodeling
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