伴随矩阵的若干性质及应用_精品文档Word格式文档下载.doc
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从而,因,故,所以
.
例4、已知为一三阶可逆矩阵,且,求伴随矩阵的逆矩阵.
㈠解因为,且为可逆矩阵,可得
,
而=8,,所以.
㈡本题用性质6可直接得,可见简单之处.
1.3(为常数)
证明因为
=
所以的阶子式中每一个元素都是中的相对应元素的倍,从每一行中提取公因子,从而矩阵中每一元素的阶代数余子式就是.
所以
==
故证之.
例5、设为一个3阶矩阵,且已知,求.
解因为,
所以.
1.4伴随矩阵的秩的性质设是阶矩阵,则
秩
证明当秩时,由于,两边同时取行列式,得
所以故秩.
当秩,由
从而可知的每一列都是方程组的解向量,故由此可得,又因为至少有一个阶子式不为零,故至少有一个元素不为零,所以此时秩.
当秩时,矩阵,所以
秩.
性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛,以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4,从而使证明简单、明了.
例6、设阶方阵,若秩时,则秩______.
A.B.C.D.
解因为秩,由以上性质可得秩0,故选D.
例7、设为一四阶矩阵,且是的伴随矩阵,求秩.
解因为秩,而为4阶矩阵,
所以秩,由以上性质可得秩.
1.5
证明当可逆时,由于
,因为,两边同时乘以 ,得
;
当不可逆时,,则
从而此时也有.
例8、已知都是阶方阵,.
解.
1.6()
证明当,
因为所以于是
=
当由此可得
当
.
例9、已知为阶可逆矩阵,且,化简.
解因为,所以,所以
1.7
证明从而有
可得
因为矩阵的特征值最多只有有限个,因此存在有无穷多个,使得
由得结论可得,,
令则由上式得
,
因为知有无穷多个但是由于
都是多项式,因此式对一切;
特别,当令时有
故证明之.
例10、已知和为三阶可逆矩阵,且
,,求.
解经计算可得,
所以.
1.8
证明由于
所以
又
因此有
当可逆时,则,
所以;
当不可逆时,则,此时用矩阵,得
因为矩阵的特征值最多只有有限个,因此存在无穷多个使得
从而有
令,,
所以有
由此可得存在无穷多个使得上式成立,而都是多项式,因此上式对一切都成立,取代入式时,有
.
1.9伴随矩阵的特征值
设矩阵;
当为降秩矩阵时,那么伴随矩阵的个特征值至少有个为0,而且另一个不等于零的特征值若存在,则等于.
证明因为为满秩矩阵,所以为可逆矩阵也即,
此时矩阵的特征值均不为零,且的个特征值为,再由可得,伴随矩阵有个特征值为
;
①当秩时,此时,秩,所以
因此可推得0,0,…,0为伴随矩阵的特征值
此时结论成立.
②当秩时,此时,秩,那么设的特征值为
由若尔当标准形知,存在可逆矩阵,使得
,其中为的全部特征值
因为,不妨设则上式为
从而.
例11、设为阶可逆矩阵,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵,若有特征值,则必有特征值什么?
解由性质知,有特征值,必有特征值,从而必有特征值+1.
1.10如果是可逆矩阵,且
证明因为,则存在可逆矩阵,使得
把上式两边同时取行列式得,
又由于可逆,故,从而,即也是可逆的,
所以,
由,则
因此
因为,则
把两端同时乘以得,
所以,.
例12、设、为三阶相似矩阵,的特征值为1,1,3,求.
解因为的特征值为1,1,3,故,
所以的特征值为,
又因为,所以,
所以的特征值为3,3,1,所以.
1.11如果是可逆矩阵,且
证明由题中矩阵合同,因此存在可逆矩阵,使
,等式两边分别取行列式,得
因为是可逆矩阵,所以,从而,而
又因为,令
则=,从而
,故,
从而
所以,
所以也合同.
2.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质
2.1若是可逆的对称矩阵,则它的伴随矩阵也是可逆的对称矩阵
a.已知数量矩阵,它的伴随矩阵也是数量矩阵;
b.若对角矩阵是可逆的,则它的伴随矩阵也是对角矩阵.
2.2若是上(下)三角矩阵,且是可逆的,则也是上(下)三角矩阵
例13、设,故,所以是可逆的,
,所以是可逆的,且为上三角矩阵.
2.3当阶实矩阵是半正定时,则它的伴随矩阵也是半正定的
证明由于是半正定的,因此存在实矩阵,使
从而其中
即有实矩阵,使得
所以也半正定的.
当阶实矩阵是正定矩阵时,则它的伴随矩阵也是正定矩阵
证明由于矩阵是正定的,从而可知存在可逆矩阵,使
所以
即有
所以也是正定矩阵.
2.4当阶矩阵为正交矩阵时,则其伴随矩阵也为正交矩阵
证明由于为正交矩阵,从而可知,,
而,所以
而
故也是正交矩阵.
例14、设正交矩阵,易算,
从而可算的E,即也为正交矩阵.
2.5若为幂等矩阵,也就是说满足,当秩时,对应可得矩阵也是幂等矩阵
证明当秩时,由于,左式两边同时取行列式,得
,所以,
由,又可得;
而,,
从而,即
所以,此时也是幂等矩阵.
当秩时,可得秩,所以
=0,
当然有,所以,此时也是幂等矩阵.
小结本文运用矩阵计算的有关方法和技巧,以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质,进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵,从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中,不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多,本文只是对其一部分性质进行说明,需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质,这需不断的去研究.
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社,2003:
177-203
[2]贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值[J].陕西师范大学继续教育学报,2007年第24卷第1期:
98-99
[3]乐茂华.高等代数[M].南京大学出版社,2002
[4]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].中国科技信息,2006年第22期:
322-323
[5]钱吉林.高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社,2009年10月第二版:
100-218
[6]邱森.高等代数[M].武汉大学出版社,2008
[7]王萼芳.高等代数[M].上海科学技术出版社,1981:
271-296
[8]姚慕生.高等代数学[M].复旦大学出版社,1995:
38-39
[9]叶世源.叶家琛等[M].同济大学出版社,1995
[10]张禾瑞.高等代数(第4版)[M].北京高等教育出版社,1999
[11]曾京玲.关于伴随矩阵的几个讨论[J].渭南师范学院学报,2003年增刊:
28-29
SomePropertiesandApplicationsoftheAdjointMatrix
Name:
YangTingStudentNumber:
200740510647Advisor:
GeXintong
AbstractMatrixisaveryimportantpointinlearninghigheralgebra,whileinmatrix’scalculationsandapplicationadjointmatrixplaysanextremelyimportantrole.Thispaperusingsometechniquesandmethodsinmatrix’scalculations,provedsomepropertiesofgeneralnorderphalanxandsomespecialmatrix’sadjointmatrix.Thesepropertiesarediscussedb