(教案)反比例函数拓展应用Word文档下载推荐.doc
《(教案)反比例函数拓展应用Word文档下载推荐.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(教案)反比例函数拓展应用Word文档下载推荐.doc(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![(教案)反比例函数拓展应用Word文档下载推荐.doc](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/22/e32297d5-d00f-404c-b4db-007f5cbdafb0/e32297d5-d00f-404c-b4db-007f5cbdafb01.gif)
2.反比例函数的综合应用
知识点剖析
序号
知识点
预估时间
掌握情况
1
2
3
4
5
教学内容
内容讲解
1.反比例函数:
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
2.反比例函数的图象和性质.
利用画函数图象的方法,可以画出反比例函数的图象,它的图象是双曲线,反比例函数y=具有如下的性质①当k>
0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是在每个象限内,y随x的增加是减小;
②当k<
0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内,y随x的增加而增大.
3.反比例函数的确定方法:
由于在反比例函数关系式y=中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数.因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标,代入y=中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式.
4.用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是:
①设所求的反比例函数为:
y=(k≠0);
②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
③由代入法解待定系数k的值;
④把k值代入函数关系式y=中.
例题剖析
例1如果函数y=k的图象是双曲线,且在第二、四象限,那么k的值是多少?
分析:
若函数的图象是双曲线,则此函数为反比例函数y=,且k≠0,若图象在第二、四象限,则k<
0,故可求出k的值.
解:
由反比例函数定义,得
所以k=-1,这时函数为y=-.
评注:
函数y=kxm反比例函数,则m=-1,k≠0;
若y=是反比例函数,则m=1,k≠0.
例2函数y=kx和y=(k<
0)在同一坐标系中的图象是()
对于y=kx来说,当k>
0时,图象经过一、三象限,当k<
0时,图象经过二、四象限;
对于y=来说,当k>
0时,图象在一、三象限,当k<
0时,图象在二、四象限,所以应选(C).
(C).
由于两个函数中的k是相同的,所以可以把k分为两类进行讨论,当k>
0时的图象是什么?
当k<
0时的图象是什么?
例3如图,正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=(k>
0)的图象交于点A,若取k为1,2,3,…,20,对应的Rt△AOB的面积分别为S1,S2,…,S20,则S1+S2+…+S20=_________.
因为过正比例函数与反比例函数的交点作x轴的垂线,x轴,正比例函数与垂线所围成的Rt△AOB的面积是k的一半.
105.
若k取大于0的自然数1,2,3,……n,则对应的Rt△AOB的面积分别为S1,S2,S3……Sn,则S1+S2+S3+……+Sn=.
例4正比例函数y=-x与反比例函数y=-的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为________.
易知四边形ABCD是一平行四边形,故可知其面积为S的4倍,为一常数.
函数y=x与y=的图象交点A、C的坐标分别为(1,1),(-1,-1),所以△AOB的面积等于,根据反比例函数的图象是中心对称图形,得平行四边形ABCD的面积为2.
理解反比例函数中的不变量k的几何意义是解题的关键.
例5两个反比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,…,P2005在反比例函数y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,…,x2005,纵坐标分别是1,3,5,…,共2005个连续奇数,过点P1,P2,P3,…,P2005分别作y轴的平行线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),…,Q2005(x2005,y2005),则y2005=________.
分析:
解题关键是抓住点P1,P2,P3,…,P2005与点P1,P2,P3,…,P2005的横坐标相同.
当点P1,P2,P3,…,P2005在函数y=的图象上,它们的纵坐标分别取1,3,5,…,4009时相应的横坐标分别为,….Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),…,Q2005(x2005,y2005)在函数y=的图象上,且这些点的横坐标分别与点P1,P2,P3,…,P2005的横坐标相同,点Q2005横坐标是.所以点Q2005的纵坐标是y2005==.
本题以能力立意,一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力,另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力.此类题背景较新颖,有时规律较隐蔽,而成为填空题中的“把关题”.
例6反比例函数y=(k>
0)在第一象限内的图像如图所示,P为该图像上任意一点,PQ垂直于x轴,垂足为Q.设△POQ的面积为S,那么S的值与k的值是否存在关系?
若有关系,请写出S与k之间的关系式;
若没有关系,请说明理由.
因为S△POQ=·
OQ·
PQ,若设P点坐标为P(x,y),则OQ=│x│,PQ=│y│,又因为P点在第一象限,所以x>
0,y>
0,因此可以得到S△POQ=xy,而由y=可以得到xy=k,于是可以确定S与k的关系式.
S与k之间的关系式为S=k,
设P点的坐标为P(x,y),则OQ=│x│,PQ=│y│.
∵点P在第一象限内,∴x>
0,
∴OQ=x,PQ=y.
∴S△POQ=·
PQ=xy.
又∵xy=k,∴S△POQ=k.
评注:
反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大,要熟练掌握.
例7如图所示,已知反比例函数y=的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、Q两点,并且P点的纵坐标是6.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求△POQ的面积.
由已知条件P点的纵坐标是6,而点P在反比例函数y=上,可以求得P点的横坐标为x=2,即P点坐标为(2,6).
又P点也在一次函数y=kx+4上,把点(2,6)代入即可求出一次函数的解析式,△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分,这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到.
(1)∵点P在反比例函数y=的图像上,且其纵坐标为6.
∴=6解得x=2,∴P(2,6).
又∵点P在函数y=kx+4的图像上,
∴6=2k+4,解得k=1.
∴所求一次函数的解析式为y=x+4.
(2)解方程组
∴点Q的坐标为(-6,-2).
令y=0,代入y=x+4,解得x=-4.
∴函数y=x+4的图像与x轴的交点是N(-4,0).
∴△PON和△QON的公共边ON=4,ON边上的高分别为PA=6,QB=2.
∴S△POQ=S△PON+S△QON=×
4×
6+×
2=16.
本题涉及一次函数及反比例函数的图像,识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键.
例8为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图).观测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请根据题中提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为________,自变量x的取值范围是__________;
药物燃烧后y关于x的函数关系式为________.
(2)研究表明,当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时,学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过多少分钟后,学生才能回到教室.
(3)研究表示,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
这是一道紧扣生活热点的应用题,应引起同学们的重视,同时要学会看图形.
由图知药物燃烧时,函数为正比例函数
设y与x的解析式为y=kx(k≠0)
∵点(8,6)在直线上,∴6=8k,∴k=,
∴y与x的解析式为y=x(0<
x≤8).
药物燃烧后函数为反比例函数
设y与x的解析式为y=(k′≠0),点(8,6)在曲线上,∴k′=8×
6=48.
∴y与x的解析式为y=(x>
8).
(2)将x=1.6代入反比例函数解析式中
y==30(分钟)
答:
从消毒开始,至少要经过30分钟后学生才能回教室.
(3)把y=3分别代入两个函数解析式,解得x=4和x=16,而16-4=12>
10.
即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟,∴这次消毒有效.
本题通过具体问题情境,既考数学的应用,又考应用的数学.解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型.
例9某厂从2001年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:
2001
2002
2003
2004
投入技改资金x(万元)
2.5
3
4
4.5
产品成本y(万元/件)
7.2
6
(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式;
(2)按照这种变化规律,若2005年已投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元?
(结果精确到0.01万元)?
观察表格发现“投入技改资金x”与“产品成本y”的积不变,故表中数据满足反比例函数关系.
(1)设其为一次函数,解析式为y=kx+b
当x=2.5时,y=7.2;
当x=3时,y=6
∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2.
把x=4时,y=4.5代入此函数解析式
左边≠右边,∴其不是一次函数.
同理,其也不是二次函数.
设其为反比例函数,解析式为y=
当x=2.5时,y=7.2可得7.2=,得k=18
∴反比例函数为y=.
验证:
当x=3时,y==6,符合反比例函数.
同理可验证:
x=4时,y=4.5;
x=4.5时,y=4成立.
∴可用反比例函数y=表示其变