(教案)反比例函数拓展应用Word文档下载推荐.doc
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2.反比例函数的综合应用
知识点剖析
序号
知识点
预估时间
掌握情况
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教学内容
内容讲解
1．反比例函数：
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
2．反比例函数的图象和性质．
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=具有如下的性质①当k>
0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加是减小；
②当k<
0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．
3．反比例函数的确定方法：
由于在反比例函数关系式y=中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y=中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式．
4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：
①设所求的反比例函数为：
y=（k≠0）；
②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
③由代入法解待定系数k的值；
④把k值代入函数关系式y=中．
例题剖析
例1如果函数y=k的图象是双曲线，且在第二、四象限，那么k的值是多少？
分析：
若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=，且k≠0，若图象在第二、四象限，则k<
0，故可求出k的值．
解：
由反比例函数定义，得
所以k=-1，这时函数为y=-．
评注：
函数y=kxm反比例函数，则m=-1，k≠0；
若y=是反比例函数，则m=1，k≠0．
例2函数y=kx和y=（k<
0）在同一坐标系中的图象是（）
对于y=kx来说，当k>
0时，图象经过一、三象限，当k<
0时，图象经过二、四象限；
对于y=来说，当k>
0时，图象在一、三象限，当k<
0时，图象在二、四象限，所以应选（C）．
（C）．
由于两个函数中的k是相同的，所以可以把k分为两类进行讨论，当k>
0时的图象是什么？
当k<
0时的图象是什么？
例3如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=（k>
0）的图象交于点A，若取k为1，2，3，…，20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20=_________．
因为过正比例函数与反比例函数的交点作x轴的垂线，x轴，正比例函数与垂线所围成的Rt△AOB的面积是k的一半．
105．
若k取大于0的自然数1，2，3，……n，则对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，S3……Sn，则S1+S2+S3+……+Sn=．
例4正比例函数y=-x与反比例函数y=-的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为________．
易知四边形ABCD是一平行四边形，故可知其面积为S的4倍，为一常数．
函数y=x与y=的图象交点A、C的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以△AOB的面积等于，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD的面积为2．
理解反比例函数中的不变量k的几何意义是解题的关键．
例5两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005=________．
分析：
解题关键是抓住点P1，P2，P3，…，P2005与点P1，P2，P3，…，P2005的横坐标相同．
当点P1，P2，P3，…，P2005在函数y=的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，…，4009时相应的横坐标分别为，…．Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005）在函数y=的图象上，且这些点的横坐标分别与点P1，P2，P3，…，P2005的横坐标相同，点Q2005横坐标是．所以点Q2005的纵坐标是y2005==．
本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力．此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”．
例6反比例函数y=（k>
0）在第一象限内的图像如图所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q．设△POQ的面积为S，那么S的值与k的值是否存在关系？
若有关系，请写出S与k之间的关系式；
若没有关系，请说明理由．
因为S△POQ=·
OQ·
PQ，若设P点坐标为P（x，y），则OQ=│x│，PQ=│y│，又因为P点在第一象限，所以x>
0，y>
0，因此可以得到S△POQ=xy，而由y=可以得到xy=k，于是可以确定S与k的关系式．
S与k之间的关系式为S=k，
设P点的坐标为P（x，y），则OQ=│x│，PQ=│y│．
∵点P在第一象限内，∴x>
0，
∴OQ=x，PQ=y．
∴S△POQ=·
PQ=xy．
又∵xy=k，∴S△POQ=k．
评注：
反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握．
例7如图所示，已知反比例函数y=的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积．
由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=上，可以求得P点的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6）．
又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）代入即可求出一次函数的解析式，△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到．
（1）∵点P在反比例函数y=的图像上，且其纵坐标为6．
∴=6解得x=2，∴P（2，6）．
又∵点P在函数y=kx+4的图像上，
∴6=2k+4，解得k=1．
∴所求一次函数的解析式为y=x+4．
（2）解方程组
∴点Q的坐标为（-6，-2）．
令y=0，代入y=x+4，解得x=-4．
∴函数y=x+4的图像与x轴的交点是N（-4，0）．
∴△PON和△QON的公共边ON=4，ON边上的高分别为PA=6，QB=2．
∴S△POQ=S△PON+S△QON=×
4×
6+×
2=16．
本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键．
例8为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范围是__________；
药物燃烧后y关于x的函数关系式为________．
（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．
（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？
为什么？
这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，同时要学会看图形．
由图知药物燃烧时，函数为正比例函数
设y与x的解析式为y=kx（k≠0）
∵点（8，6）在直线上，∴6=8k，∴k=，
∴y与x的解析式为y=x（0<
x≤8）．
药物燃烧后函数为反比例函数
设y与x的解析式为y=（k′≠0），点（8，6）在曲线上，∴k′=8×
6=48．
∴y与x的解析式为y=（x>
8）．
（2）将x=1.6代入反比例函数解析式中
y==30（分钟）
答：
从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室．
（3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>
10．
即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，∴这次消毒有效．
本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型．
例9某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
2001
2002
2003
2004
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？
（结果精确到0.01万元）？
观察表格发现“投入技改资金x”与“产品成本y”的积不变，故表中数据满足反比例函数关系．
（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b
当x=2.5时，y=7.2；
当x=3时，y=6
∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2．
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式
左边≠右边，∴其不是一次函数．
同理，其也不是二次函数．
设其为反比例函数，解析式为y=
当x=2.5时，y=7.2可得7.2=，得k=18
∴反比例函数为y=．
验证：
当x=3时，y==6，符合反比例函数．
同理可验证：
x=4时，y=4.5；
x=4.5时，y=4成立．
∴可用反比例函数y=表示其变
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