高一数学平面向量知识点及典型例题解析Word格式文档下载.docx

高一数学平面向量知识点及典型例题解析Word格式文档下载.docx

《高一数学平面向量知识点及典型例题解析Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学平面向量知识点及典型例题解析Word格式文档下载.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

，但这时必须“首尾相连”。

②向量减法：

同一个图中画出

要点:

向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；

差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.

（3）实数与向量的积

3．两个向量共线定理：

向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。

二．【典例解析】

题型一：

向量及与向量相关的基本概念概念

例1判断下列各命题是否正确

（1）零向量没有方向

（2）若

（3）单位向量都相等（4）向量就是有向线段

（5）两相等向量若共起点,则终点也相同（6）若，，则；

（7）若，，则（8）的充要条件是且；

（9）若四边形ABCD是平行四边形,则

练习.（四川省成都市一诊）在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件

题型二:

考查加法、减法运算及相关运算律

例2化简=

练习1.下列命题中正确的是

A．B．

C．D．

2.化简得

A．B．C．D．

3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则（　　）

A.＋＋＝0B.－＋＝0

C.＋－＝0D.－－＝0

题型三:

结合图型考查向量加、减法

例3在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（）

例4重心、垂心、外心性质

练习:

1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，．

2已知求证

3若为的内心，且满足，则的形状为（）

A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形

4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝（　　）

A．2－B．－＋2C.－D．－＋

5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．

6．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则（　　）

A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上

7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于（　　）

A.B.C．－D．－

题型四:

三点共线问题

例4设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值

例5已知A、B、C、P为平面内四点，A、B、C三点在一条直线上=m+n，求证：

m+n=1．

练习：

1．已知：

，则下列关系一定成立的是（）

A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线

C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线

2．（原创题）设a，b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．

第2讲平面向量的基本定理与坐标表示

1．平面向量的基本定理

如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：

其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的_单位向量_、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得…………，把叫做向量的（直角）坐标，记作…………其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示

与相等的向量的坐标也为特别地，，，

特别提醒：

设，则向量的坐标就是点的坐标；

反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

3．平面向量的坐标运算

（1）若，，则=，=

（2）若，，则（3）若和实数，则

4．向量平行的充要条件的坐标表示：

设=（x1,y1），=（x2,y2）其中

∥（）的充要条件是

二．【典例解析】

题型一.利用一组基底表示平面内的任一向量

[例1]在△OAB中，，AD与BC交于点M，

设=，=，用,表示.

1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（）

A．与—B．3与2C．＋与—D．与2

2．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

向量加、减、数乘的坐标运算

例3已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且,,求点M、N的坐标及向量的坐标.

练习:

1.（2008年高考辽宁卷）已知四边形ABCD的三个顶点A（0,2），B（－1，－2），C（3,1），且＝2，则顶点D的坐标为（　　）

A．（2，）B．（2，－）C．（3,2）D．（1,3）

2．若M（3,-2）N（-5,-1）且,求P点的坐标；

3．若M（3,-2）N（-5,-1），点P在MN的延长线上，且,

求P点的坐标；

4.（2009年广东卷文）已知平面向量a=，b=，则向量（）

A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线

5．在三角形ABC中，已知A（2,3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD上，且＝2，

则点C的坐标是（　　）

A．（－4,2）B．（－4，－2）C．（4，－2）D．（4,2）

6．设向量a＝（1，－3），b＝（－2,4），c＝（－1，－2），若表示向量4a、4b－2c、2（a－c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（　　）

A．（2,6）B．（－2,6）C．（2，－6）D．（－2，－6）

7．已知A（7,1）、B（1,4），直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于（　　）

A．2B．1C.D.

平行、共线问题

例4已知向量，，若∥，则锐角等于（）

A．B．C．D．

例5．（2009北京卷文）已知向量，

如果那么（）

A．且与同向B．且与反向

C．且与同向D．且与反向

练习：

1．若向量=（-1,x）与=（-x,2）共线且方向相同，求x

2．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及，

求

（1）t为何值时，P在x轴上？

P在y轴上？

P在第二象限。

（2）四边形OABP能否构成为平行四边形？

若能，求出相应的t值；

若不能，请说明理由。

3．已知向量a＝（1,2），b＝（0,1），设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为（　　）

A．－1B．－C.D．1

4．已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若ma＋nb与a－2b共线，则等于（　　）

A．－B．2C.D．－2

5．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是（　　）

A．m≠－2B．m≠C．m≠1D．m≠－1

6．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。

题型四：

平面向量综合问题

例6．已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，　，.

（1）若//，求证：

ΔABC为等腰三角形；

（2）若⊥，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积.

练习已知点A（－1,2），B（2,8）以及＝，＝－，求点C、D的坐标和的坐标．

第三讲平面向量的数量积及应用

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；

说明：

两向量的夹角必须是同起点的，范围0≤≤180。

C

（2）数量积的概念

非零向量与，·

=︱︱·

︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。

规定；

向量的投影：

︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。

投影的绝对值称为射影；

（3）数量积的几何意义：

·

等于的长度与在方向上的投影的乘积.

注意：

⑴只要⊥就有·

=0，而不必=或=．

⑵由·

=·

及≠0却不能推出=．得||·

||cosθ1=||·

||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=（见图）．

⑶（·

）≠（·

），向量的数量积是不满足结合律的．

⑷对于向量、，有|·

|≤||·

||，等号当且仅当∥时成立．

（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：

。

②乘法公式成立

；

③向量的夹角：

cos==。

（5）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量，则·

=。

（6）垂直：

如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。

两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·

＝O

（7）平面内两点间的距离公式设，则或。

（平面内两点间的距离公式）.

数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

（1）；

（2）；

（3）若，则；

（4）若，则当且仅当时成立；

（5）对任意向量都成立；

题型二.求数量积、求模、求夹角的简单应用

例2

题型三：

向量垂直、平行的判定

例3．已知向量，，且，则。

例4．已知，，，按下列条件求实数的值。

例5．已知：

、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）

（1）若||，且，求的坐标；

（2）若||=且与垂直，求与的夹角.

练习1若非零向量、满足，证明:

2在△ABC中，=（2,3），=（1,k），且△ABC的一个内角为直角，

求k值

3．已知向量，，若，则（）

4.

5．知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）

A．B．C．D．

向量的夹角

例6已知向量=（cos,sin）,=（cos,sin）,且，求与的夹角

练习1已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

2．||=1，||=2，=+，且⊥，则向量与的夹角为（）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝（　　）

A．150°

　　　B．120°

C．60°

D．30°

4．已知向量a＝（1,2），b＝（－2，－4），|c|＝，若（a＋b）·

c＝，则a与c的夹角为（　　）

A．30°

或150°

或120°

5.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（）

（A）4（B）3（C）2（D）1