第3章2控制系统状态空间表达式的解.docx

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第3章2控制系统状态空间表达式的解

（2）当A的n个特征根相等时，满足：

……（3－21）

证：

下面只证明A有n个不相等特征根的情况。

根据凯利－哈密顿（Cayley－Hamilton）定理，方阵A满足其本身的特征方程，即：

所以：

也就是说，所有可以表示为线性代数和。

将代入的定义式（3－7），经整理可得：

……（3－22）

下面再求的关系式。

因为A有n个不同的特征根，并设T为A的变换矩阵，则有：

……

……（3－23）

代入（3－21）得：

……（3－24）

又根据（3－12）式，

所以可得：

……（3－25）

即：

所以，（3－20）式得到证明。

例3－5已知，利用凯利－哈密顿定理求。

解：

根据（3－19）式

代入（3－18）式得：

性质12：

矩阵指数函数可用拉氏反变换法求得：

……（3-26）

证：

考虑，在初始条件下的解：

对两边取拉氏变换，得：

两边取拉氏反变换，得：

例3－6：

利用拉氏反变换法求，其中。

解：

3-3线性连续定常非齐次状态方程求解

线性定常非齐次状态方程为：

……（3－27）

从物理意义上看，系统从时刻的初始状态开始，在外界控制的作用下运动。

要求系统在任意时刻的状态，就必须求解（3－27）。

采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，（3－27）式可写成：

两边同时左乘，得：

根据矩阵微积分知识，上式进一步有：

两边同时在区间积分，得：

两边同时左乘，并整理得：

即：

……（3－28）

当初始时刻时，（3－28）变为：

……（3－29）

从（3－28）和（3－29）可知，非齐次状态方程（3－27）的解由两部分组成，第一部分是在初始状态作用下的自由运动，第二部分为在系统输入的作用下的强制运动。

当为几种典型的控制输入时，（3－29）有如下形式。

1.脉冲信号输入

……（3－30）

2.阶跃信号输入

……（3－31）

3.斜坡信号输入

求得：

……（3－32）　

例3－7求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：

解：

已知，

若初始条件为零，即

则有

3-4连续时间状态空间表达式的离散化

数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。

另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。

设连续系统动态方程为：

　……（3－33）

系统离散化的原则是：

在每个采样时刻，其中T为采样周期），系统离散化前后的保持不变。

而采样的方法是在时刻对值采样得，并通过零阶保持器，使的值在时间段保持不变。

根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为：

……（3－34）

式中，

上述输出方程应该很容易理解，它表示时刻离散系统的输出和输入及其系统状态量的关系，它应该与离散化前的关系一样。

下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程，即求出,。

根据连续时间状态方程求解公式（3-27），我们假设，并求时刻的状态，注意在时段不变：

其中：

，它只与采样周期T有关

令，则：

时，

时，

它也只与采样周期T有关。

我们忽略时刻中的符号，直接用代表时刻。

所以我们有连续系统离散化公式：

……（3－35）

其中：

，

例3－8试将下列状态方程离散化

解：

当时

3-5离散时间系统状态方程求解

离散时间状态方程求解一般有两种方法：

递推法（迭代法）和Z变换法。

前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。

我们只介绍递推法。

对于线性定常离散系统状态方程：

……（3－36）

依次取，得：

当初始时刻为hT时，同理可推出：

与连续时间系统方程解类似，记：

或，称它们为离散系统的状态转移矩阵。

所以离散系统的解可记为：

……（3－37）

或　……（3－38）