三维设计高三数学理二轮复习题型专题3 平面向量含答案解析Word格式.docx

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∴＝＝－3.

4．（2016·

杭州综合测试）设P是△ABC所在平面内的一点，且则△PAB与△PBC的面积的比值是（　　）

A.B.C.D.

选B　∵∴＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，∴＝＝.

[技法融会]

1．平面向量线性运算的2种技巧

（1）对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．

（2）在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；

若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理（当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb）来判断．

2．（易错提醒）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

（1）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．

（2）求非零向量a，b的夹角，一般利用公式cos〈a，b〉＝先求出夹角的余弦值，然后求夹角．

（3）向量a在向量b方向上的投影为＝|a|cosθ（θ为两向量的夹角）．

全国丙卷）已知向量＝，＝，则∠ABC＝（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

选A　因为＝，＝，

所以·

＝＋＝.

又因为·

＝||||cos∠ABC＝1×

1×

cos∠ABC＝，所以cos∠ABC＝.

又0°

≤∠ABC≤180°

，所以∠ABC＝30°

.

合肥质检）已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥（a－2b），则|b|＝（　　）

A.B．2C．2D．4

选B　由a⊥（a－2b）得，a·

（a－2b）＝|a|2－2a·

b＝0，则|a－b|＝＝＝|b|＝2，选项B正确．

重庆二测）设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为（　　）

A．－B．－C.D.

选A　依题意得e1·

e2＝1×

cos＝－，|a|＝＝＝，a·

b＝（e1＋2e2）·

（2e1－3e2）＝2e－6e＋e1·

e2＝－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，选A.

天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·

的值为（　　）

A．－B.C.D.

5．（2016·

长春质检）已知向量a＝（1，），b＝（0，t2＋1），则当t∈[－，2]时，的取值范围是________．

由题意，＝（0，1），根据向量的差的几何意义，表示同起点的向量t的终点到a的终点的距离，当t＝时，该距离取得最小值1，当t＝－时，该距离取得最大值，即的取值范围是[1，]．

答案：

[1，]

1．平面向量数量积运算的2种形式

（1）依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择求夹角和模的基底进行转化；

（2）利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．

2．（易错提醒）两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．

一、平面向量与其他知识的交汇

平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：

一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．

[新题速递]

1．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f（x）＝－2x3＋3|a|x2＋6a·

bx＋5在R上单调递减，则向量a，b夹角的取值范围是（　　）　　　　　　　　　　　

A.B.

C.D.

选D　设向量a，b的夹角为θ，因为f（x）＝－2x3＋3|a|x2＋6a·

bx＋5，所以f′（x）＝－6x2＋6|a|x＋6a·

b，又函数f（x）在R上单调递减，所以f′（x）≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×

（－6）×

（6a·

b）≤0，解得a·

b≤－|a|2，因为a·

b＝|a|·

|b|cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝|a|2·

cosθ≤－|a|2，解得cosθ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是，故选D.

广东茂名二模）已知向量a＝（3，－2），b＝（x，y－1），且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是（　　）

A．24B．8C.D.

选B　∵a∥b，∴－2x－3（y－1）＝0，即2x＋3y＝3，∴＋＝×

（2x＋3y）＝（6＋＋＋6）≥＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立．∴＋的最小值是8.故选B.

这两题考查的是平面向量与函数、不等式的交汇．第1题由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意两向量的夹角θ∈[0，π]．而第2题是利用平面向量的知识得到关于x和y的一个等式，再利用基本不等式求解．

二、新定义下平面向量的创新问题

近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．

[新题速递]

1．已知向量a与b的夹角为θ，定义a×

b为a与b的“向量积”，且a×

b是一个向量，它的长度|a×

b|＝|a||b|sinθ，若u＝（2，0），u－v＝（1，－），则|u×

（u＋v）|等于（　　）

A．4B.C．6D．2

选D　由题意v＝u－（u－v）＝（1，），则u＋v＝（3，），cos〈u，u＋v〉＝，得sin〈u，u＋v〉＝，由定义知|u×

（u＋v）|＝|u|·

|u＋v|sin〈u，u＋v〉＝2×

2×

＝2.故选D.

2．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×

|a－b|×

sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：

①若〈a，b〉＝90°

，则a⊙b＝a2＋b2；

②若|a|＝|b|，则（a＋b）⊙（a－b）＝4a·

b；

③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；

④若a＝（1，2），b＝（－2，2），则（a＋b）⊙b＝.其中真命题的序号是________．

①中，因为〈a，b〉＝90°

，则a⊙b＝|a＋b|×

|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；

②中，因为|a|＝|b|，所以〈（a＋b），（a－b）〉＝90°

，所以（a＋b）⊙（a－b）＝|2a|×

|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；

③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×

sin〈a，b〉≤|a＋b|×

|a－b|≤＝2|a|2，所以③成立；

④中，因为a＝（1，2），b＝（－2，2），所以a＋b＝（－1，4），sin〈（a＋b），b〉＝，所以（a＋b）⊙b＝3×

×

＝，所以④不成立．

①③

此类题目是新定义下平面向量的运算，破题的关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，学会转化，是解决此类问题的切入口．

一、选择题

1．设a＝（1，2），b＝（1，1），c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于（　　）

选A　因为c＝a＋kb＝（1＋k，2＋k），又b⊥c，所以1×

（1＋k）＋1×

（2＋k）＝0，解得k＝－.

山西四校联考）已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥（a－b），则向量a与向量b的夹角为（　　）

选B　∵a⊥（a－b），∴a·

（a－b）＝a2－a·

b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.

3．已知A，B，C三点不共线，且点O满足则下列结论正确的是（　　）

4．（2016·

贵州模拟）若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2（λ∈R），且|a|＝，则λ＝（　　）

A．－B.－1C.D.

选A　由题意可得e1·

e2＝，|a|2＝（e1＋λe2）2＝1＋2λ×

＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－，选项A正确．

湖南六校联考）设向量a＝（cosα，－1），b＝（2，sinα），若a⊥b，则tan＝（　　）

A．－B.C．－1D．0

选B　由已知可得，a·

b＝2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，tan＝＝，故选B.

6．已知向量a，b，c中任意两个向量都不共线，但a＋b与c共线，b＋c与a共线，则a＋b＋c＝（　　）

A．aB．bC．cD．0

选D　∵a＋b与c共线，b＋c与a共线，∴可设a＋b＝λc，b＋c＝μa，两式作差整理后得到（1＋λ）c＝（1＋μ）a，∵向量a，c不共线，∴1＋λ＝0，1＋μ＝0，即λ＝－1，μ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.故选D.

7．（2016·

山西质检）已知a，b是单位向量，且a·

b＝－.若平面向量p满足p·

a＝p·

b＝，则|p|＝（　　）

A.B．1C.D．2

选B　由题意，不妨设a＝（1，0），b＝，p＝（x，y），∵p·

b＝，

∴解得∴|p|＝＝1，故选B.

8．（2016·

石家庄一模）A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若（λ∈R，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（1，＋∞）

C．（1，]D．（－1，0）

选B　由题意可得（0<

k<

1），又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝>

1，即λ＋μ的取值范围是（1，＋∞），选项B正确．

9．（2016·

江西赣南五校联考）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若则向量方向上的投影为（　　）

C．－D．－

选A　由可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以由题意知＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°

.所以向量方向上的投影为||cos∠ABC＝1×

cos60°

＝.故选A.

10．已知△ABC中，D为边BC的中点，则||等于（　　）

A．6B．5C．4D．3

11．在平面直角坐标系中，点A与B关于y轴对称．若向量a＝（1，k），则满足不等式的点A（x，y）的集合为（　　）

A．{（