旋转放缩对称直角三角形模型解析及在中考题中的应用Word文档下载推荐.docx
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那到底该模型有何特别之处呢?
我们擦去过渡三角形和AEF,只保留△ABC和△AED。
(再次提醒,现在的是旋转放缩对称直角三角形模型,多了一个对称,和一开始的模型完全不一样了)
我们连接两个非A的对应锐角定点B和D得到线段BD,取BD中点G,再连接G和两个直角顶点C、E之间的线段,得到三角形GCE,它有如下特点:
GC=GE,∠CGE=2α(即2倍∠ABC)
先举个特例来说明该模型的体现和证明:
2007年广州中考数学压轴题
已知Rt△ABC中,AB=AC,在Rt△ADE中,AD=DE,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM,
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,
如图①,求证:
BM=DM且BM⊥DM;
(2)如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°
的角,如图②,那么
(1)中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;
如果成立,请给予证明。
⑴证法一:
在Rt△EBC中,M是斜边EC的中点∴BM=
在Rt△EDC中,M是斜边EC的中点∴DM=
∴BM=DM,且点B、C、D、E在以点M为圆心,BM为半径的圆上
∴∠BMD=2∠ACB=90°
即BM⊥DM
证法二:
证明BM=DM与证法一相同,下面证明BM⊥DM
∵DM=MC∴∠MDC=∠MCD
∴∠EMD=2∠ECD
∵BM=MC∴∠MBC=∠MCB
∴∠EMB=2∠ECB
∴∠EMD+∠EMB=2(∠ECD+∠ECB)
∵∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°
∴∠BMD=2∠ACB=90°
,即BM⊥DM
⑵该题解法应该是很多,给出三种做法。
一是以倍长中线为基础证全等的做法,照搬标准答案。
延长DM至点F,使得DM=MF,连接CD和EF,连接BD,连接BF、FC,延长ED交AC于点H.
∵DM=MF,EM=MC
∴四边形CDEF是平行四边形
∴DE∥CF,ED=CF
∵ED=AD∴AD=CF
∵DE∥CF∴∠AHE=∠ACF
∵∠BAD=45°
﹣∠DAH=45°
﹣(90°
﹣∠AHE)=∠AHE﹣45°
,∠BCF=∠ACF﹣45°
∴∠BAD=∠BCF
又∵AB=BC
∴△ABD≌△CBF
∴BD=BF,∠ABD=∠CBF
∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC
∴∠DBF=∠ABC=90°
在Rt△DBF中,由BD=BF,DM=MF,得BM=DM且BM⊥DM
二是利用直角三角形斜边中线及中位线的全等做法:
取AE中点P,AC中点Q,连PM、PD、QB、QM,显然,
且四边形PAQM为平行四边形,则∠APM=∠AQM
∴∠APM=90°
=∠AQM即∠DPM=∠MQB
∴△PDM≌△QMB∴DM=MB
又∵PM⊥BQ∠QBM+∠BMP=∠PMD+∠BMP=90°
∴BM⊥DM
三是结合第一个旋转相似模型的相似解法:
将C点关于AB做对称,得等腰直角△AGB,
由旋转相似模型可知△AGE∽△ABDGE:
BD=AE:
AD=
又GE=2BM∴BD:
BM=
∠DBM=90°
-(∠ABD+∠MBC)=90°
-(∠AGE+∠EGC)=45°
∴△DBM为等腰直角三角形
在这三种方法中,个人更喜欢第二种利用直角三角形斜边中线和中位线证全等的方法,
既简单巧妙,也应用面广。
我们来看一道一般性普遍性的旋转放缩对称直角三角形模型的题型:
已知:
△ABC中,AB=AC,N为BC的中点,△DBE中,DB=DE,M为BE中点,∠ABC=∠DBE,P为AD中点,连接PM、PN.
⑴如图1,当BE与BA重合时,求证:
PM=PN;
⑵如图2,把图1中的△DBE绕B点逆时针旋转(0°
<<180°
),其它条件不变,⑴中的结论还成立吗?
请说明理由。
如果对模型足够敏感,不难发现Rt△BMD和RtBNA恰好符合这个模型,所以不妨采用前面第二种解法:
证明:
⑴连接AN、MD
∵AB=ACN为BC的中点
∴AN⊥BC
∵P为AD的中点
∴PN=
同理PM=
∴PM=PN
⑵取BD中点F,AB中点G,
∵M为BE的中点,F为BD的中点
∴MF∥EDMF=
同理可证:
GP∥BDGP=
∵DE=DB∴MF=GP
PF=GN
∵∠PGN=180°
-∠AGP-∠BGN∠MFP=180°
-∠MFB-∠PFD
而∠AGP=∠ABD=∠PFD∠BGN=∠BAC=∠EDB=∠MFB
∴∠PGN=∠MFP
∴△PMF≌△PNG(SAS)∴PM=PN
最后再来看一下2015年重庆中考A卷的倒数第二道几何大题。
如图1,在△ABC中,ACB=90°
,BAC=60°
,点E角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的线段,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF。
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB,BD的长。
(2)如图1,求证:
HF=EF。
(3)如图2,连接CF,CE,猜想:
△CEF是否是等边三角形?
若是,请证明;
若不是,请说明理由。
考点:
全等三角形的判定与性质;
等边三角形的判定与性质;
三角形中位线定理.
分析:
(1)根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果;
(2)如图1,连接AF,证出△DAE≌△ADH,△DHF≌△AEF,即可得到结果;
(3)如图2,取AB的中点M,连接CM,FM,在R△ADE中,AD=2AE,根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM,于是得到FM=AE,由∠CAE=∠CAB=30°
∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°
,证得△ACE≌△MCF,问题即可得证.
解答:
⑴,
⑵连接AF易证:
△DAE≌△ADH,故DH=AE
故易证:
△DHF≌△AEF∴HF=EF
⑶(方法不唯一,有很多,合理即可)
(法一)取AB的中点M,连接CM、FM在RT△ADE中,AD=2AE
FM是△ABD的中位线,故AD=2FM∴FM=AE
易证△ACM为等边三角形,故AC=CM
故△ACE≌△MCF(手拉手全等模型)故易证:
△CEF为等
边三角形
(法二)延长DE至点N,使EN=DE,连接AN;
延长BC至点M,使CB=CM,连接AM;
延长BD交AM于点P
易证:
△ADE≌△ANE,△ABC≌△AMC
△ADM≌△ANB(手拉手全等模型),故DM=BN
CF是△BDM的中位线,EF是△BDN的中位线
故
故△CEF为等边三角形
点评:
本题考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,等边三角形的判定,正确
的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
看起来很难,其本质也还是我讲的模型。
且由于E在∠BAC平分线上这个特点,使得难度大大减少。
要删掉这个条件,结论还是一样,证法也可以同上,