旋转放缩对称直角三角形模型解析及在中考题中的应用Word文档下载推荐.docx

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那到底该模型有何特别之处呢？

我们擦去过渡三角形和AEF，只保留△ABC和△AED。

（再次提醒，现在的是旋转放缩对称直角三角形模型，多了一个对称，和一开始的模型完全不一样了）

我们连接两个非A的对应锐角定点B和D得到线段BD，取BD中点G，再连接G和两个直角顶点C、E之间的线段，得到三角形GCE，它有如下特点：

GC=GE，∠CGE=2α（即2倍∠ABC） 

先举个特例来说明该模型的体现和证明：

2007年广州中考数学压轴题

已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，

如图①，求证：

BM=DM且BM⊥DM；

（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°

的角，如图②，那么

（1）中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；

如果成立，请给予证明。

⑴证法一：

在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点∴BM=

在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点∴DM=

∴BM=DM,且点B、C、D、E在以点M为圆心，BM为半径的圆上

∴∠BMD=2∠ACB=90°

即BM⊥DM

证法二：

证明BM=DM与证法一相同，下面证明BM⊥DM

∵DM=MC∴∠MDC=∠MCD

∴∠EMD=2∠ECD

∵BM=MC∴∠MBC=∠MCB

∴∠EMB=2∠ECB

∴∠EMD+∠EMB=2（∠ECD+∠ECB）

∵∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°

∴∠BMD=2∠ACB=90°

，即BM⊥DM

⑵该题解法应该是很多，给出三种做法。

一是以倍长中线为基础证全等的做法，照搬标准答案。

延长DM至点F，使得DM=MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．

∵DM=MF，EM=MC

∴四边形CDEF是平行四边形

∴DE∥CF，ED=CF

∵ED=AD∴AD=CF

∵DE∥CF∴∠AHE=∠ACF

∵∠BAD=45°

﹣∠DAH=45°

﹣（90°

﹣∠AHE）=∠AHE﹣45°

，∠BCF=∠ACF﹣45°

∴∠BAD=∠BCF

又∵AB=BC

∴△ABD≌△CBF

∴BD=BF，∠ABD=∠CBF

∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC

∴∠DBF=∠ABC=90°

在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM

二是利用直角三角形斜边中线及中位线的全等做法：

取AE中点P，AC中点Q，连PM、PD、QB、QM，显然，

且四边形PAQM为平行四边形，则∠APM=∠AQM

∴∠APM=90°

=∠AQM即∠DPM=∠MQB

∴△PDM≌△QMB∴DM=MB

又∵PM⊥BQ∠QBM+∠BMP=∠PMD+∠BMP=90°

∴BM⊥DM

三是结合第一个旋转相似模型的相似解法：

将C点关于AB做对称，得等腰直角△AGB,

由旋转相似模型可知△AGE∽△ABDGE：

BD=AE：

AD=

又GE=2BM∴BD：

BM=

∠DBM=90°

-（∠ABD+∠MBC）=90°

-（∠AGE+∠EGC）=45°

∴△DBM为等腰直角三角形

在这三种方法中，个人更喜欢第二种利用直角三角形斜边中线和中位线证全等的方法，

既简单巧妙，也应用面广。

我们来看一道一般性普遍性的旋转放缩对称直角三角形模型的题型：

已知：

△ABC中，AB=AC，N为BC的中点，△DBE中，DB=DE，M为BE中点，∠ABC=∠DBE，P为AD中点，连接PM、PN.

⑴如图1，当BE与BA重合时，求证：

PM=PN；

⑵如图2，把图1中的△DBE绕B点逆时针旋转（0°

＜＜180°

），其它条件不变，⑴中的结论还成立吗？

请说明理由。

如果对模型足够敏感，不难发现Rt△BMD和RtBNA恰好符合这个模型，所以不妨采用前面第二种解法：

证明：

⑴连接AN、MD

∵AB=ACN为BC的中点

∴AN⊥BC

∵P为AD的中点

∴PN=

同理PM=

∴PM=PN

⑵取BD中点F，AB中点G，

∵M为BE的中点，F为BD的中点

∴MF∥EDMF=

同理可证：

GP∥BDGP=

∵DE=DB∴MF=GP

PF=GN

∵∠PGN=180°

-∠AGP-∠BGN∠MFP=180°

-∠MFB-∠PFD

而∠AGP=∠ABD=∠PFD∠BGN=∠BAC=∠EDB=∠MFB

∴∠PGN=∠MFP

∴△PMF≌△PNG（SAS）∴PM=PN

最后再来看一下2015年重庆中考A卷的倒数第二道几何大题。

如图1，在△ABC中，ACB=90°

，BAC=60°

，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长。

（2）如图1，求证：

HF=EF。

（3）如图2，连接CF，CE，猜想：

△CEF是否是等边三角形？

若是，请证明；

若不是，请说明理由。

考点：

全等三角形的判定与性质；

等边三角形的判定与性质；

三角形中位线定理．

分析：

（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；

（2）如图1，连接AF，证出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到结果；

（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在R△ADE中，AD=2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=∠CAB=30°

∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°

，证得△ACE≌△MCF，问题即可得证．

解答：

⑴,

⑵连接AF易证：

△DAE≌△ADH，故DH=AE

故易证：

△DHF≌△AEF∴HF=EF

⑶（方法不唯一，有很多，合理即可）

（法一）取AB的中点M，连接CM、FM在RT△ADE中，AD=2AE

FM是△ABD的中位线，故AD=2FM∴FM=AE

易证△ACM为等边三角形，故AC=CM

故△ACE≌△MCF（手拉手全等模型）故易证：

△CEF为等

边三角形

（法二）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN；

延长BC至点M，使CB=CM，连接AM；

延长BD交AM于点P

易证：

△ADE≌△ANE，△ABC≌△AMC

△ADM≌△ANB（手拉手全等模型），故DM=BN

CF是△BDM的中位线，EF是△BDN的中位线

故

故△CEF为等边三角形

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确

的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

看起来很难，其本质也还是我讲的模型。

且由于E在∠BAC平分线上这个特点，使得难度大大减少。

要删掉这个条件，结论还是一样，证法也可以同上，