旋转放缩对称直角三角形模型解析及在中考题中的应用Word文档下载推荐.docx

1、那到底该模型有何特别之处呢？我们擦去过渡三角形和AEF，只保留ABC和AED。（再次提醒，现在的是旋转放缩对称直角三角形模型，多了一个对称，和一开始的模型完全不一样了）我们连接两个非A的对应锐角定点B和D得到线段BD，取BD中点G，再连接G和两个直角顶点C、E之间的线段，得到三角形GCE，它有如下特点：GC=GE，CGE=2（即2倍ABC）先举个特例来说明该模型的体现和证明：2007年广州中考数学压轴题已知RtABC中，AB=AC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM=DM且BMDM；（2）如

2、图中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。证法一：在RtEBC中，M是斜边EC的中点 BM= 在RtEDC中，M是斜边EC的中点 DM= BM=DM,且点B、C、D、E在以点M为圆心，BM为半径的圆上BMD=2ACB=90即BMDM证法二：证明BM=DM与证法一相同，下面证明BMDMDM=MC MDC=MCDEMD=2ECDBM=MC MBC=MCBEMB=2ECBEMD+EMB=2（ECD+ECB）ECD+ECB=ACB=45 BMD=2ACB=90，即BMDM该题解法应该是很多，给出三种做法。一是以倍长中线为基

3、础证全等的做法，照搬标准答案。延长DM至点F，使得DM=MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED交AC于点HDM=MF，EM=MC四边形CDEF是平行四边形DECF，ED=CFED=AD AD=CFDECF AHE=ACFBAD=45DAH=45（90AHE）=AHE45，BCF=ACF45BAD=BCF又AB=BCABDCBFBD=BF，ABD=CBFABD+DBC=CBF+DBCDBF=ABC=90在RtDBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BMDM二是利用直角三角形斜边中线及中位线的全等做法：取AE中点P，AC中点Q，连PM、PD、QB、QM，显然，且四边形P

4、AQM为平行四边形，则APM=AQMAPM=90=AQM 即DPM=MQBPDMQMB DM=MB又PMBQ QBM+BMP=PMD+BMP=90BMDM三是结合第一个旋转相似模型的相似解法： 将C点关于AB做对称，得等腰直角AGB,由旋转相似模型可知AGEABD GE：BD=AE：AD= 又GE=2BM BD：BM=DBM=90-（ABD+MBC）= 90-（AGE+EGC）= 45DBM为等腰直角三角形在这三种方法中，个人更喜欢第二种利用直角三角形斜边中线和中位线证全等的方法，既简单巧妙，也应用面广。我们来看一道一般性普遍性的旋转放缩对称直角三角形模型的题型： 已知：ABC中，AB=AC，

5、N为BC的中点，DBE中，DB=DE，M为BE中点，ABC=DBE，P为AD中点，连接PM、PN.如图1，当BE与BA重合时，求证：PM=PN；如图2，把图1中的DBE绕B点逆时针旋转（0180），其它条件不变，中的结论还成立吗？请说明理由。如果对模型足够敏感，不难发现RtBMD和RtBNA恰好符合这个模型，所以不妨采用前面第二种解法：证明：连接AN、MDAB=AC N为BC的中点ANBCP为AD的中点PN=同理PM=PM=PN取BD中点F，AB中点G，M为BE的中点，F为BD的中点MFED MF=同理可证：GPBD GP=DE=DB MF=GPPF=GNPGN=180-AGP-BGN MFP

6、=180-MFB-PFD而AGP=ABD=PFD BGN=BAC=EDB=MFBPGN=MFPPMFPNG（SAS） PM=PN最后再来看一下2015年重庆中考A卷的倒数第二道几何大题。如图1，在ABC中，ACB=90，BAC=60，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF。（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长。（2）如图1，求证：HF=EF。（3）如图2，连接CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角

7、形的判定与性质；三角形中位线定理 分析：（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果； （2 ）如图1，连接AF ，证出 DAEADH， DHF AEF ，即可得到结果；（3 ）如图2 ，取AB 的中点M，连接CM，FM，在R ADE 中，AD=2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由 CAE=CAB=30CMF= AMF AMC=30，证得 ACEMCF ，问题即可得证 解答：,连接AF易证：DAEADH，故DH=AE故 易证：DHFAEF HF=EF（方法不唯一，有很多，合理即可）（法一）取AB的中点M，连接CM、FM在RTADE中，AD=2AEFM是A

8、BD的中位线，故AD=2FM FM=AE易证ACM为等边三角形，故AC=CM 故ACEMCF（手拉手全等模型）故易证：CEF为等边三角形（法二）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN；延长BC至点M，使CB=CM，连接AM；延长BD交AM于点P易证：ADEANE，ABCAMCADMANB（手拉手全等模型），故DM=BNCF是BDM的中位线，EF是BDN的中位线故故CEF为等边三角形点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确 的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键 看起来很难，其本质也还是我讲的模型。且由于E在BAC平分线上这个特点，使得难度大大减少。要删掉这个条件，结论还是一样，证法也可以同上，