版高考数学考前三个月复习冲刺专题6第26练完美破解立体几何证明题理Word下载.docx

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证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.

变式训练1　（2015·

广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.

（1）证明：

BC∥平面PDA；

（2）证明：

BC⊥PD；

（3）求点C到平面PDA的距离.

题型二　空间中的垂直问题

例2　如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.

求证：

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

点评　

（1）证明线面垂直的常用方法：

①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；

②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；

③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

（2）证明面面垂直的方法：

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决.

变式训练2　（2014·

广东）如图

（1），四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图

（2）折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.

CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M－CDE的体积.

题型三　空间中的平行、垂直综合问题

例3　（2015·

山东）如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.

（1）求证：

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH.

点评　

（1）立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得.

（2）证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.

（3）平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形高线、中线.

变式训练3　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

平面EFG∥平面PMA；

（2）求证：

平面EFG⊥平面PDC；

（3）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比.

高考题型精练

1.（2015·

广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A.l与l1，l2都不相交

B.l与l1，l2都相交

C.l至多与l1，l2中的一条相交

D.l至少与l1，l2中的一条相交

2.（2015·

玉溪质检）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体

P－AEF中必有（　　）

A.AP⊥△PEF所在平面B.AG⊥△PEF所在平面

C.EP⊥△AEF所在平面D.PG⊥△AEF所在平面

4.（2015·

烟台模拟）已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：

①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；

②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；

③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；

④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是（　　）

A.①③B.②④

C.①④D.②③

5.（2014·

浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（　　）

A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

6.设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；

②若m∥l，且m∥α，则l∥α；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；

④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.

其中正确的个数是（　　）

A.1B.2

C.3D.4

7.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；

②平面ABC⊥平面PBC；

③直线BC∥平面PAE；

④∠PDA＝45°

.

其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）.

8.如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.则B1C与AB的位置关系为________.

9.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

10.（2014·

山东）如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.

AP∥平面BEF；

BE⊥平面PAC.

11.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

12.（2014·

四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.

（1）若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1；

（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论.

答案精析

例1　证明　

（1）如图，连接SB，

∵E、G分别是BC、SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，

EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，由

（1）知，

EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

变式训练1　

（1）证明　因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，

所以BC∥平面PDA.

（2）证明　因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.

（3）解　如图，取CD的中点E，连接AC和PE.因为PD＝PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE＝＝＝.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，由

（2）知：

BC⊥平面PDC，由

（1）知：

BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥CPDA＝V三棱锥PACD，

所以S△PDA·

h＝S△ACD·

PE，

即h＝＝＝，

所以点C到平面PDA的距离是.

例2　证明　

（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.

∵AB⊥平面ACD，

DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.

又AB＝DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，

∴AF∥BG.

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

变式训练2　

（1）证明　因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PD⊥AD.

又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，

所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，

所以AD⊥CF，即MD⊥CF.

又MF⊥CF，MD∩MF＝M，

所以CF⊥平面MDF.

（2）解　因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°

，

所以PD＝，由

（1）知FD⊥CF，

在Rt△DCF中，CF＝CD＝.

过点F作FG⊥CD交CD于点G，得FG＝FCsin60°

＝×

＝，

所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝，

所以MD＝＝＝.

S△CDE＝DE·

DC＝×

×

1＝.

故VM－CDE＝MD·

S△CDE＝×

＝.

例3　证明　

（1）方法一　如图，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.

在三棱台DEFABC中，

AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形.

则M为CD的中点，

又H为BC的中点，

所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

方法二　在三棱台DEFABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，

可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四边形HBEF为平行四边形，

可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，

H为BC的中点，所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，

所以平面FGH∥平面ABED.

又因为BD⊂平面ABED，

所以B