高三数学三垂线定理及其逆定理Word文件下载.docx
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通过问题的探索，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和转化能力。
德育目标：
通过揭示正逆定理的对立统一，渗透辩证唯物主义观点，欣赏数学美。
四．教材的重点难点：
三垂线定理及其逆定理是立体几何中证明线线垂直的重要定理，它们将空间两条直线的垂直问题平面化，体现了化归的思想方法，而且在解决有关“角”与“距离”等问题时也常常要用到这两个定理。
确定本节教学的重点为三垂线定理及其逆定理,难点是应用其证明空间两条直线的垂直。
五．教学过程：
1、复习：
基本概念 三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：
（2）定理内容分析 三垂线定理及其逆定理的比较相同点：
a.结构相同，都是线线垂直推证线线垂直；
b.证明方法相同，都采用了线面垂直法.不同点：
a.用途不同，原定理用来证明空间两线垂直;
而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；
b.条件与结论不同，原定理是：
“与射影垂直与斜线垂直”；
逆定理是：
“与斜线垂直与射影垂直”.2、讲授新课：
1 师：
上一节我们复习了三垂线定理及其逆定理．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；
另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1． 例1如图1，已知：
PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证：
△ABC是锐角三角形． 师：
这一题证法很多，所以我们要多想几种证法． 所以∠BAC是锐角． 同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角．师：
我们能不能直接用三垂线定理来证？
生：
已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角． 2 师：
能不能用公式cosθ1·
cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？
因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·
cosθ2＞0，所以θ为锐角。
即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角． 师：
我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2． 例2如图2，已知：
PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：
H点是△ABC的垂心． 师：
垂心是三角形三边垂线的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可． 生：
因为PA⊥BP，PA⊥CP，所以PA⊥平面PBC．故PA⊥BC． 对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线．因为PA⊥BC，所以AH⊥BC． 同理可证BH⊥AC，CH⊥AB．故H是△ABC的垂心．师：
例2的演变可得例3，现在我们来看例3． 3 例3如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：
O不可能是△PBC的垂心． 师：
要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？
生：
用反证法． 师：
为什么想到用反证法？
因为直接证不好证． 师：
对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明． 生：
假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC． 对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影．因为BO⊥PC，所以AB⊥PC．又因为PA⊥平面ABC，PA⊥AB， 所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心． 师：
分析例3我们可以看出例3是例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现在我们来看例4． 4 例4如图4，已知：
∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°
，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°
，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：
PO与平面α所成的角的正弦；
PO的长． 师：
我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题． 生：
因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°
，θ＝45°
，cosθ1·
cos30°
＝ 师：
在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5． 5 直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；
若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离． 师：
我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理． 生：
对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理． 师：
这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？
作MP⊥A1B1于P，又因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1．师：
对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我们要证MN⊥B1D1，只要证PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1⊥B1D1，所以现在只要证PN∥A1Q1即可．我们如何利用已知条件来证PN∥A1O1． 6 ＝O1N∶NB1，所以PN∥A1O1，所以PN⊥B1D1，故MN⊥B1D1．同理可证MN⊥A1B， 所以MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线． 师：
已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的长？
师：
这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的先人们是如何想出来的？
这一问题我们利用课外活动时间来进行探索． 例题6：
:
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：
BD1⊥平面AB1C 证明：
连结BD，连结A1B∵DD1⊥平面ABCD D1C1∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵ABCD是正方形∴AC⊥BD A1（AC垂直射影BD），∴AC⊥BD1B1 （请思考：
如何证明D1B⊥AB1） 同理:
BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影,AB1⊥BD1,而AC∩AB1=A∴BD1⊥平面AB1C 关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出或作出平面的垂线,至于射影则是垂足和斜足来确定的。
证明a⊥b（线线垂直）的一个程序：
一垂、二射、三证。
A即 第一、找或作平面垂线. 7 DBC 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。
第三、证明直线a与射影线垂直，从而得出a与b垂直。
今天就讲这六个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题． 3．课堂练习 1.判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b ⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b ⑶若a是平面α的斜线，直线b?
α且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b ⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b 2.在正方体AC1中， 求证：
A1C⊥BC1，A1C⊥B1D14、课堂小结：
从知识内容、方法和思想三个方面参与小结。
知识内容：
三垂线定理及其逆定理；
应用步骤：
“一垂二射三证” 思想方法：
转化思想，转化的关键是“找平面的垂线”。
5、布置作业：
１．求证：
两条平行线和同一个平面所成的角相等。
从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，若DA=a，且∠BDA=∠CDA=60°
，∠BDC=90°
，求BC的长。
如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？
２．已知P在平面ABC内的射影是O， 若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是△ABC的 。
若PA=PB=PC，则点O是△ABC的 。
若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的 。
探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。
探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是△PAC的垂心。
探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，∠BPC=９０°
．求证：
∠BPA=９０°
，∠APC=９０°
。
2009年9月 8
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