高三数学三垂线定理及其逆定理Word文件下载.docx

1、通过问题的探索，培养学生的空间 想象能力、逻辑思维能力和转化能力。 德育目标：通过揭示正逆定理的对立统一，渗透辩证唯物主义观点，欣赏数学美。 四教材的重点难点：三垂线定理及其逆定理是立体几何中证明线线垂直的重要定理，它们将空间两条直线的垂直问题平面化，体现了化归的思想方法，而且在解决有关“角”与“距离”等问题时也常常要用到这两个定理。确定本节教学的重点为三垂线定理及其逆定理,难点是应用其证明空间两条直线的垂直。 五教学过程： 1、复习： 基本概念 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理： （2） 定理内容分析 三垂线

2、定理及其逆定理的比较 相同点： a. 结构相同，都是线线垂直推证线线垂直； b .证明方法相同，都采用了线面垂直法. 不同点： a. 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直;而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直； b. 条件与结论不同，原定理是：“与射影垂直与斜线垂直”；逆定理是：“与斜线垂直与射影垂直”. 2、讲授新课： 1 师：上一节我们复习了三垂线定理及其逆定理其中大多是基本题今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力现在看例1 例1 如图1，已知：PAPB，PAPC，PBPC，求证： ABC是锐角三角形 师：这一题证法很多

3、，所以我们要多想几种证法 所以 BAC是锐角 同理可证ABC，ACB都是锐角 师：我们能不能直接用三垂线定理来证？ 生：已知可得PA平面PBC在直角三角形PBC中，作PDBC于D，因为PBC，PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PDBC对于ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以ABC，ACB都是锐角，同理可证BAC也是锐角 2 师：能不能用公式cos1cos2cos来证明ABC为锐角三角形？因AP平面PBC，所以ABP是线面角，相当于1，PBC相当于2，因1，2都是锐角所以cos10，cos20，coscos1cos20，所以为锐角。即ABC是锐角，同理可证BAC，ACB都

4、是锐角 师：我们用了三种方法来证明ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质看例2 例2 如图2，已知：PAPB，PAPC，PBPCPH平面ABC于H求证：H点是ABC的垂心 师：垂心是三角形三边垂线的交点，要证H是ABC的垂心，只要证AHBC即可 生：因为 PABP，PACP， 所以 PA平面PBC故 PABC 对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线 因为 PABC，所以 AHBC 同理可证BHAC，CHAB故H是ABC的垂心 师：例2的演变可得例3，现在我们来看例3 3 例3 如图3，ABC中，BAC是锐角，PA平面ABC于A，

5、AO平面PBC于O求证：O不可能是PBC的垂心 师：要证明O不可能是PBC的垂心，用什么方法？ 生：用反证法 师：为什么想到用反证法？因为直接证不好证 师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明 生：假设O是PBC的垂心，则BOPC 对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影 因为 BOPC，所以 ABPC又因为 PA平面ABC，PAAB， 所以AB平面PAC，ABAC，BAC是直角，与已知BAC是锐角相矛盾所以假设不能成立，所以O不可能是PBC的垂心 师：分析例3我们可

6、以看出例3是例2演变而来也就是说在PAAB，PAACO是PBC的垂心条件下一定可以推导出ABAC是例2的逆命题再加以演变而得现在我们来看例4 4 例4 如图4，已知：AOB在平面内，AOB60，PO是平面的一条斜线段，POAPOB45，PP平面于P，且PP3求： PO与平面所成的角的正弦； PO的长 师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题 生：因POAPOB，所以OP是AOB的平分线，POP相当于1，230，45，cos1cos30师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型下面我

7、们来看例5 5 直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线； 若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离 师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理 生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理 师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？作MPA1B1于P，又因为D1A1平面A1ABB1，所以A1D1PM，故PM平面A1B1C1D1 师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影我们

8、要证MNB1D1，只要证PNB1D1即可在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1B1D1，所以现在只要证PNA1Q1即可我们如何利用已知条件来证PNA1O1 6 O1NNB1，所以PNA1O1，所以PNB1D1，故MNB1D1同理可证MNA1B，所以MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线 师：已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的长？ 师：这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索 例题6：:如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连

9、结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C 证明：连结BD，连结A1B DD1平面ABCD D1C1 BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ABCD是正方形ACBD A1 （AC垂直射影BD），ACBD1 B1（ 请思考：如何证明D1BAB1 ） 同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 BD1 ,而AC AB1 =A BD1平面AB1C 关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出或作出平面的垂线,至于射影则是垂足和斜足来确定的。 证明ab（线线垂直）的一个程序：一垂、二射、三证。A即 第一、找或作平面垂线. 7 D BC 第二、找射影线，这时a、

10、b便成平面上的一条直线与一条斜线。 第三、证明直线a与射影线垂直，从而得出a与b垂直。 今天就讲这六个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题 3课堂练习 1.判断下列命题的真假： 若a是平面的斜线，直线b垂直于a在平面内的射影，则 ab若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影，则 ab若a是平面的斜线，直线b? 且b垂直于a在另一平面内的射影则ab若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影，则 ab2. 在正方体AC1中， 求证：A1CBC1 ， A1CB1D1 4、课堂小结： 从知识内容、方法和思想三个方

11、面参与小结。 知识内容：三垂线定理及其逆定理； 应用步骤： “一垂二射三证” 思想方法：转化思想，转化的关键是“找平面的垂线”。 5、布置作业： 求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。 从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，若DA=a，且BDA=CDA=60， BDC=90 ，求BC的长。 如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？ 已知P在平面ABC内的射影是O， 若p到ABC的三边的距离相等，则点O是 ABC的 。 若PA=PB=PC ，则点O是ABC的 。 若PABC，PBAC，则点O是ABC 的 。 探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是ABC的垂心，求证PABC，PBAC。 探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O是PAC的垂心。 探索3、已知O是锐角ABC的垂心，PO平面ABC，BPC= 求证：BPA= ，APC= 。 2009年9月 8