新人教A版数学必修4导学案解析版第一章三角函数141正弦函数余弦函数的图象导学案Word下载.docx
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用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，如图.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2（k＋1）π），k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0，2π）的图象的形状完全一致.于是只要将函数y＝sinx，x∈[0，2π）的图象向左、向右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象，如图.
思考2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？
答案 把y＝sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图象.
梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象
思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤？
答案 列表、描点、连线.
思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0，2π]上的图象时是哪五个点？
答案
画正弦函数图象的五点
（0，0）
（π，0）
（2π，0）
画余弦函数图象的五点
（0，1）
（π，－1）
（2π，1）
梳理 “五点法”作正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]图象的步骤：
（1）列表
x
π
2π
sinx
1
－1
cosx
（2）描点
画正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是
（0，0），，（π，0），，（2π，0）；
画余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是
（0，1），，（π，－1），，（2π，1）.
（3）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.
类型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sinx（0≤x≤2π）的简图.
解
（1）取值列表：
1－sinx
2
描点连线，如图所示.
反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.
跟踪训练1 用“五点法”作出函数y＝1－cosx（0≤x≤2π）的简图.
解 列表如下：
1－cosx
描点并用光滑的曲线连接起来，如图.
类型二 利用正弦、余弦函数的图象求定义域
例2 求函数f（x）＝lgsinx＋的定义域.
解 由题意，得x满足不等式组
即作出y＝sinx的图象，如图所示.
结合图象可得x∈[－4，－π）∪（0，π）.
反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
跟踪训练2 求函数y＝的定义域.
解 为使函数有意义，需满足
即0<
sinx≤.
由正弦函数的图象或单位圆（如图所示），可得函数的定义域为{x|2kπ<
x≤2kπ＋或2kπ＋≤x<
2kπ＋π，k∈Z}.
类型三 与正弦、余弦函数有关的函数零点问题
命题角度1 零点个数问题
例3 在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数.
解 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，再向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象.
描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示.
由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个.
反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.
跟踪训练3 方程x2－cosx＝0的实数解的个数是.
答案 2
解析 作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个实数解.
命题角度2 参数范围问题
例4 方程sin（x＋）＝在[0，π]上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和.
解 作出y1＝sin（x＋），y2＝的图象如图，由图象可知，
要使y1＝sin（x＋），y2＝在区间[0，π]上有两个不同的交点，应满足≤<
1，即≤m<
2.
设方程的两实根分别为x1，x2，则由图象可知x1与x2关于x＝对称，于是x1＋x2＝2×
，所以x1＋x2＝.
反思与感悟 准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析.
跟踪训练4 若函数f（x）＝sinx－2m－1，x∈[0，2π]有两个零点，求m的取值范围.
解 由题意可知，sinx－2m－1＝0在[0，2π]上有2个根，即sinx＝2m＋1有两个根，
可转化为y＝sinx与y＝2m＋1两函数的图象有2个交点.
由y＝sinx图象可知，
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
解得－1＜m＜0，且m≠－.
∴m∈（－1，－）∪（－，0）.
1.用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A.0，，π，，2πB.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4πD.0，，，，
答案 B
解析 “五点法”作图是当2x＝0，，π，，2π时的x的值，此时x＝0，，，，π，故选B.
2.下列图象中，y＝－sinx在[0，2π]上的图象是（ ）
答案 D
解析 由y＝sinx在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.
3.函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有个.
解析 作y＝cosx，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－（图略），可知两函数图象有2个交点.
4.函数y＝的定义域为.
答案 [＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
解析 由题意知，自变量x应满足2sinx－1≥0，
即sinx≥.由y＝sinx在[0，2π]的图象，
可知≤x≤，
所以y＝的定义域为，k∈Z.
5.请用“五点法”画出函数y＝sin的图象.
解 令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
y
－
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象.
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
（1）与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
（2）正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asinx＋b的图象的步骤：
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.
课时作业
一、选择题
1.对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是（ ）
A.向左右无限伸展
B.与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
解析 由正弦曲线知，A，B，C均正确，D不正确.
2.用五点法画y＝sinx，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A.B.
C.（π，0）D.（2π，0）
答案 A
解析 易知不是关键点.
3.已知f（x）＝sin，g（x）＝cos，则将f（x）的图象（ ）
A.与g（x）的图象相同
B.与g（x）的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位，得g（x）的图象
D.向右平移个单位，得g（x）的图象
解析 f（x）＝sin，
g（x）＝cos＝cos＝sinx，
f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象.
4.函数y＝－sinx，x∈的简图是（ ）
5.方程sinx＝的根的个数是（ ）
A.7B.8C.9D.10
解析 在同一坐标系内画出y＝和y＝sinx的图象如图所示.
根据图象可知方程有7个根.
6.函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为（ ）
解析 由题意得y＝显然只有D合适.
7.若函数y＝2cosx（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）
A.4B.8C.2πD.4π
解析 作出函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×
2π＝4π.
二、填空题
8.函数f（x）＝lgcosx＋的定义域为.
答案 ∪∪
解析 由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cosx的图象，如图所示.
结合图象可得
x∈∪∪.
9.函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝.
答案 3π
解析 如图所示，
x1＋x2＝2×
＝3π.
10.函数f（x）＝则不等式f（x）＞的解集是.
答案 {x|－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N}
解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）和y＝的图象（图略），由图易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N.
11.设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为.
解析 由题意知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx，在同一坐标系画出y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝cosx，x∈[0，2π]的图象，如图所示.
观察图象知x∈.
三、解答题
12.用“五点法”画出函数y＝＋sinx，x∈[0，2
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