找规律题总结文档格式.docx

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第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字

如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：

（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；

（2）第n个“上”字需用枚棋子。

方法一：

数数的方法先统计每个图所用的棋子数，然后再对这些数进行比较，

方法二：

找出变化的地方通过比较前后两个图，发现事物的相同点和不同点，找出变化的地方有几处，通常有几处在增加，就是几n，然后根据第一个图看还需要加多少，或者减多少。

如上图相连两个图之间有四个地方在增加，那就是4n，再看第一个图是6颗棋，则需要加2所以为4n+2

此方法可类推到很多题！

练：

如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子。

练如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：

则第n个图形中需用黑色瓷砖____块．（用含n的代数式表示）

练下面的图形是由边长为l的正方形按照某种规律排列而组成的．

推测第n个图形中，正方形的个数为________，周长为______________（都用含n的代数式表示）．

基本方法2如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：

1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。

需要准备的知识：

会求等差数列的和：

教会学生如何求第n项的数是多少

即第n-1位到第n位的增幅

即第n-1位到第n位的增幅a（n）=a1+（n-1）d，前n项和的公式

26122030（42）

　　A.38B.42C.48D.56

　　解析：

后一个数与前个数的差分别为：

4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。

说明对于图形题方法也一样，先统计每个图基本单元的个数。

然后对数进行比较

例3：

25112032（47）（2008年考题）

　　A.43B.45C.47D.49

后一个数与前一个数的差分别为：

3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。

练习1.如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图⑴中有1个立方体，图⑵中有4个立方体，图⑶中有9个立方体，……

按这样的规律叠放下去，

第8个图中小立方体个数是.

第n个为--------

2.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为

基本方法三、增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：

2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

此类问题也是对增幅进行比较，会发现前后两数之比为同一个数则可表示为该数的的多少次方，如上题：

第一与第二个数之间差的是1，说明得从2的n-1次方开始，在考虑第一个数为2，所以规律为1+2的n-1次方。

例4：

4571l19（35）

　　A.27B.31C.35D.41

1，2，4，8这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。

n项为3+2的n-1次方。

练习1：

1，3，7，15，31，（63）（2007年考题）

　　A.61B.62C.63D.64

第n项为----------

特殊类增幅不相等，且增幅也不98以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

基本技巧

（一）标出序列号：

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：

0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是100，第n个数是n。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。

我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：

序列号：

1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是-1，第100项是—1

（二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。

例如：

1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（），

1，2，3，4，5．。

。

，从中可以看出n=2时，正好是2×

2-1的平方,n=3时，正好是2×

3-1的平方，以此类推。

（三）看例题：

A：

2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18

答案与3有关且是n的3次幂，即：

n+1

B：

2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

0、3、8、15、24……，

序列号：

1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为。

再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得到原数列第n项（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例：

4，16，36，64，？

，144，196，…？

（第一百个数）

同除以4后可得新数列：

1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n，则求出第一百个数为4*100=40000

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

对于正负交替出现的数组：

通常把数与符号分开，先用-1的N次方或者n+1次方来表示符号，再去探索数的规律。

一道初中数学找规律题

0，3，8，15，24，·

·

2，5，10，17，26，·

0，6，16，30，48·

（1）第一组有什么规律？

答：

从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。

（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？

第一组是位置数平方减1，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：

位置数平方减1加2，得位置数平方加1即。

第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：

例2、（）分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：

以上系列方法是基础，是基本方法。

接下来介绍些中考中的巧解妙解题。

1、设计类

【例1】

（2005年大连市中考题）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为 

。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】

（2005年河北省中考题）观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

解析：

（1）

（2）可设计如图1，图2，图3，图4所示的方案：

（1），对应的图形是

（2）。

2、动态类

【例3】

（连云港市中考题）右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为 

【例4】

（重庆市中考题）已知甲运动方式为：

先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；

乙运动方式为：

先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是 

【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，……归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。

利用每圈周长之和进行比较也很容易得出前后两数之差为一个相同的数8，所以规律中含有8n，再看第一个数为7，所以规律为8n-1

（－3，－4）

3、数字类

【例5】

（福州市中考题）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第七个数据是 

【例5】这列数的分子分别为3，4，5的平方数，而分母比分子分别小4，则第7个数的分子为81，分母为77，故这列数的第7个为。

【例6】

（2005年济南市中考题）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 

【例8】的一列数形成二阶等差数列，他们依次相差4，8，12，16……故第10个数为1+4+8+12+16+20+24+28+32+36＝181。

4、计算类

【例10】

（2005年陕西省中考题）观察下列等式：

，……则第n个等式可以表示为 

【例11】

（200