沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料文档格式.docx

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轴对称

（一）轴对称图形和轴对称

　　1、轴对称图形

（1）定义：

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对

　　　　称图形，这条直线就是它的对称轴。

。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

例

　　　　如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如等边三角形、矩

　　　　形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1．

（2）轴对称图形的性质：

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　2、轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关

　　　　于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两

　　　　个图形关于这条直线成轴对称。

如上右图。

（2）成轴对称的两个图形的性质：

　　　　①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

　　　　②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

　　　　③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

　　3、轴对称图形与轴对称的区别和联系

（1）区别：

轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；

轴对称涉及

　　　　两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。

（2）联系：

如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；

如果把成

　　　　轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

（二）线段的垂直平分线

　　1．线段的垂直平分线的性质：

　　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

　　2．线段的垂直平分线的作法：

　　①分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；

　　②作直线CD；

则直线CD即为线段AB的垂直平分线。

知识点二：

作轴对称图形

　　1．作轴对称图形：

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，

　　　　就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称

　　　　点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

　　2．用坐标表示轴对称：

　　点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.

知识点三：

等腰三角形

（一）等腰三角形

　　1、定义：

有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。

　　2、等腰三角形性质

（1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

注意：

常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。

　　　特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°

　　3、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。

（二）等边三角形

三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

　　2、等边三角形性质：

等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°

　　3、等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

　　（3）有一个角为60°

的等腰三角形是等边三角形。

　　4、直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边

　　　的一半。

规律方法指导：

　　1、要注意轴对称图形与轴对称概念的区别与联系。

　　2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。

　　3、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）。

程

　　　度较好的学生可以考虑再拓展：

点关于直线y=a,x=b，y=x等的对称。

　　4、等腰三角形“三线合一”的性质可以这么理解：

①等腰三角形；

②顶角的平分线；

③底边上的中

　　　线；

④底边上的高，以其中任意两个作为条件，就能推出其他两个结论。

　　5、推理证明是本章的难点，要克服这个难点，可以结合所要求证的结论一起考虑，即“两头凑”，帮

　　　助我们克服这一困难。

重点考点：

1.垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用：

练一练：

（1）用直尺和圆规作已知线段的中垂线。

（2）用直尺和圆规作已知角的角平分线。

经典练习选讲：

1．如图，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F．求证：

BP为∠MBN的平分线．

2.如右图所示，已知AB＝AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB＝12cm，BC＝l0cm，∠A＝49°

，求∠DBC度数。

2、轴对称变换：

定义：

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换；

利用坐标表示轴对称：

利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。

（由点到线，到面）

*点（x，y）关于x轴对称的点是（x，－y），关于y轴对称的点是（－x，y）,

关于原点对称的点是（－x，－y）,关于y=x对称的点是（y，x）。

例题：

1、如图:

（1）求点A关于y轴对称的点的坐标；

（2）求点B关于x轴对称的点的坐标；

2、

3、轴对称作图，找点，使得距离之和最短问题

相应经典练习选讲：

（1）.如图：

D，E为ABC两边AB，AC的中点，将ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若B＝50，则BDF=________________

（2）.把一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B’M或B’M的延长线上，那么EMF的度数为_____。

（3）.如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，B＝60，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为_____________。

（4）在正方形ABCD中，M，N为AD和BC中点，将点C沿直线BE对折，

使C落在MN上为F，求EBC。

5、已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上，且x＞0，y＞0，点A的坐标为（6，0）．

（1）设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（2）当S=9时，求点P的坐标；

（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标．

6、如图：

在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；

（2）△ABC的面积为　　　　　　；

（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为　　　　　　个单位长度．（在图形中标出点P）

4、等腰三角形：

（1）等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两边叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；

（2）等腰三角形的性质：

a：

两腰相等；

b：

两底角相等；

c：

顶角平分线，底边上的中线，高三线重合（三线合一），d：

对称性；

（3）等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（“等角对等边”）；

（4）等边三角形的定义：

三边都相等的三角形叫做等边三角形；

*等边三角形是一种特殊的等腰三角形

等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60度；

等边三角形每一条边上都是三线合一；

（5）等边三角形的判定：

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

题型一：

等腰三角形的性质

（1）如图：

在中，AB＝AC，D为AC边上一点，

且BD=BC=AD，则A等于________________。

（2）等腰三角形两边长为5cm和9cm，周长为______________；

等腰三角形两边长为4cm和9cm时，周长为____________________；

若等腰三角形周长为40cm，一边长为14cm，其他两边长为__________________。

（3）等腰三角形中一个角为40°

，则另外两个角为_______________,如果一个角为100°

，那另外两个角为______________.

（4）如图所示：

在△ABC中，1＝2＝3，△ABC为等边三角形，求BEC的度数

（5）如图,△ABC中,AD平分∠CAB交BC于D，且CD=2，∠C=900，∠DEF=900，∠B=∠FDB=22.50,AE=6,DF=4,求AB的长.

第（4）题图

第5题图

（6）如图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE,求证:

EF⊥BC。

第6题图

（7）如图所示：

在△ABC中，BD=DE=EC=AD=AE，求BAC的度数。

第（7）题图

（8）如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，P是AD上一点，连接CP,BP,并分别将它们延长，交AB于点F,交AC于点E

（1）说出点E关于AD的对称点，并说明理由；

（2）找出图中与△CPE全等的三角形，并说明理由；

（3）若AD=6,BC=4,求图中阴影部分的面积。

第（8）题

题型二：

等腰三角形的三线合一

（1）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°

，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为

E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

第

（1）题图

（2）如图，AC=BC,AC⊥BC,AE⊥BE,BD=2AE,

求证：

BE平分∠ABC

第2题图

（3）如图，∠ABC=90°

，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：

∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗？

并说明理由．

第3题图

等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定

（1）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.

求证：

（1）AD=CE;

（2）求∠DFC的度数。

（2）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°

，∠ACB=60°

，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:

CD=

（3）已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是

∠A的平分线，求证：

AC+CD=AB

（4）两个全等的含30°

，60°

的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点