沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料文档格式.docx

1、轴对称（一）轴对称图形和轴对称1、轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对 称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。例 如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴其它如等边三角形、矩 形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形如图1 （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。2、轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说

2、这两 个图形关于这条直线成轴对称。如上右图。（2）成轴对称的两个图形的性质： 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.3、轴对称图形与轴对称的区别和联系（1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及 两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。（2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成 轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一

3、个轴对称图形（二）线段的垂直平分线1线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2线段的垂直平分线的作法： 分别以点 A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点； 作直线 CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。知识点二：作轴对称图形1作轴对称图形：（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点， 就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称 点，连接这些对称点，就可

4、以得到原图形的轴对称图形.2用坐标表示轴对称：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.知识点三：等腰三角形（一）等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。2、等腰三角形性质（1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于453、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。（二）等边三角形三条边

5、都相等的三角形，叫做等边三角形。2、等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于603、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形。4、直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边 的一半。规律方法指导：1、要注意轴对称图形与轴对称概念的区别与联系。2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。3、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）。程 度较好的学生可以考虑再拓展：点关于

6、直线y=a,x=b，y=x等的对称。4、等腰三角形“三线合一”的性质可以这么理解：等腰三角形；顶角的平分线；底边上的中 线；底边上的高，以其中任意两个作为条件，就能推出其他两个结论。5、推理证明是本章的难点，要克服这个难点，可以结合所要求证的结论一起考虑，即“两头凑”，帮 助我们克服这一困难。重点考点：1. 垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用： 练一练：（1）用直尺和圆规作已知线段的中垂线。（2）用直尺和圆规作已知角的角平分线。经典练习选讲：1如图，AP、CP分别是ABC外角MAC与NCA的平分线，它们相交于点P，PDBM于点D，PFBN于点F求证：BP为MBN的平分线2.如右图所示，已知

7、ABAC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB12cm，BCl0cm，A49，求DBC度数。2、轴对称变换：定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换；利用坐标表示轴对称：利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。（由点到线，到面）*点（x，y）关于x轴对称的点是（x，y），关于y轴对称的点是（x，y）,关于原点对称的点是（x，y）, 关于y=x对称的点是（y，x）。例题：1、如图:（1）求点A关于y轴对称的点的坐标；（2）求点B关于x轴对称的点的坐标；2、3、轴对称作图，找点，使得距离之和

8、最短问题相应经典练习选讲：（1）.如图：D，E为ABC两边AB，AC的中点，将ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若B50，则BDF=_（2）.把一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在BM或BM的延长线上，那么EMF的度数为_。（3）.如图所示，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=1，B60，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PCPD的最小值为_。（4）在正方形ABCD中，M，N为AD和BC中点，将点C沿直线BE对折，使C落在MN上为F，求EBC。5、已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上，且x0，y0，点A的坐标为（6，0

9、）（1）设OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当S=9时，求点P的坐标；（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标6、如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上（1）在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的ABC；（2）ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为个单位长度（在图形中标出点P）4、等腰三角形：（1） 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；（2） 等腰三角形的性质：a：两

10、腰相等；b：两底角相等；c：顶角平分线，底边上的中线，高三线重合（三线合一），d：对称性；（3） 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（“等角对等边”）；（4） 等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；*等边三角形是一种特殊的等腰三角形等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60度；等边三角形每一条边上都是三线合一；（5） 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。题型一：等腰三角形的性质（1）如图：在中，ABAC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD，则A等于_。（2）等腰三

11、角形两边长为5cm和9cm，周长为_；等腰三角形两边长为4cm和9cm时，周长为_；若等腰三角形周长为40cm，一边长为14cm，其他两边长为_。（3）等腰三角形中一个角为40，则另外两个角为_,如果一个角为100，那另外两个角为_.（4）如图所示：在ABC中，123，ABC为等边三角形，求BEC的度数（5）如图,ABC中,AD平分CAB交BC于D，且CD=2，C=900，DEF=900，B=FDB=22.50,AE=6,DF=4,求AB的长. 第（4）题图第5题图（6）如图,ABC中,AB=AC,E 在CA的延长线上,AEF=AFE,求证:EFBC。第6题图（7）如图所示：在ABC 中，BD

12、=DE=EC=AD=AE，求BAC的度数。第（7）题图（8）如图，AD是等腰ABC的顶角平分线，P是AD上一点，连接CP,BP,并分别将它们延长，交AB于点F,交AC于点E（1）说出点E关于AD的对称点，并说明理由；（2）找出图中与CPE全等的三角形，并说明理由；（3）若AD=6,BC=4,求图中阴影部分的面积。第（8）题题型二：等腰三角形的三线合一（1）如图，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为 E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF （1）求证：ADCF； （2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由第（1）题图（2）如图，AC=BC,ACBC,

13、AEBE,BD=2AE, 求证：BE平分ABC第2题图（3）如图，ABC=90，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由第3题图等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定（1）如图，在等边ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.求证：（1）AD=CE;（2）求DFC的度数。（2）如图，在RtABC中，B=90，ACB=60，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD= （3）已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是 A的平分线，求证：AC+CD=AB（4）两个全等的含30，60的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点