最新苏教版小学数学六年级上册单元知识总结全册Word格式.docx

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②不同点:

长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形）;

一般情况下,棱有3组,每组4条棱长度相等。

正方体的6个面是完全相同的正方形;

每条棱的长度都相等。

三、正方体、长方体的展开图

1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。

正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。

2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3组相对的面,相对的面完全相同,相对的面完全隔开。

3.沿着正方体（或长方体）的棱将它剪开,可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。

在展开图中,正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同）,相对的面完全隔开。

四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法

1.表面积的意义:

长方体（或正方体）6个面的总面积,叫作它的表面积。

2.长方体和正方体表面积的计算方法。

（1）长方体的表面积=长×

宽×

2+长×

高×

2+宽×

2=（长×

宽+长×

高+宽×

高）×

2。

如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=（ab+ah+bh）×

（2）正方体的表面积=棱长×

棱长×

6。

如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长,那么正方体表面积的计算公式是S=6a2。

五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实际问题

1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是要根据实际情况确定好求几个面的面积和。

2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都有6个面,如长方体的鱼缸只有5个面,通风管只有4个面。

因此,在计算时要根据实际情况解题。

六、体积和容积的意义

1.物体所占空间的大小叫作物体的体积。

2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其他物体的都不是容器。

3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。

4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积。

七、体积单位

1.棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。

2.棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。

3.棱长是1米的正方体,体积是1立方米。

4.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别是cm3、dm3和m3。

八、容积单位

1.容积单位的使用方法。

计量容积,一般就用体积单位。

计量液体的体积,如水、油等,通常用升或毫升作单位。

升和毫升,用字母表示分别为L和mL,其中1L=1000mL。

2.容积单位的换算。

1dm3=1L　1cm3=1mL

高级单位向低级单位转换用乘法计算;

低级单位向高级单位转换用除法计算。

3.“容积”与“体积”的区别。

（1）意义不同。

体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所能容纳物体的体积。

一个物体有体积,但它不一定有容积。

（2）测量方法不同。

求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高,然后计算。

因此,对于同一个物体,一般来说,它的容积要比体积小。

（3）单位名称不完全相同。

体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。

固体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位一般用升、毫升。

九、长方体体积公式的推导

1.以取12个1立方厘米的小正方体,摆出不同形状的长方体为例,如下图:

每个小正方体的体积是1立方厘米,每个长方体是由12个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12立方厘米。

2.填写表格。

长/cm

宽/cm

高/cm

小正方体的个数

体积/cm3

长方体①

12

1

长方体②

6

2

长方体③

4

3

长方体④

3.

（1）在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当于长方体的长;

排数相当于长方体的宽;

层数相当于长方体的高。

（2）长方体所含小正方体（体积单位）的个数正好等于长方体长、宽、高的乘积。

4.长方体体积公式的字母表达式。

如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成V=abh。

长方体的体积=长×

高,字母公式为V=abh。

5.拓展提高。

当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3（n×

n×

n=n3）倍;

当长方体的长、宽、高都缩小到原来的时,它的体积就缩小到原来的。

十、正方体体积公式的推导

1.长方体的体积=长×

高

↓↓↓

正方体的体积=棱长×

棱长

2.正方体体积的字母公式。

如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a·

a·

a=a3。

3.拓展提高。

当正方体的棱长扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3倍;

当正方体的棱长缩小到原来的时,它的体积就缩小到原来的。

十一、运用体积公式解决实际问题

如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具备,那么可直接利用公式计算体积。

十二、长方体和正方体体积的通用公式

1.长方体和正方体底面积的意义。

长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面接触,通常把这个面叫作底面。

长方体和正方体底面的面积,叫作它们的底面积。

2.长方体和正方体底面积的计算方法。

（1）长方体的底面积=长×

宽。

（2）正方体的底面积=棱长×

棱长。

3.长方体和正方体体积公式的推导。

长方体（或正

方体）的体积=底面积×

长方体（或正方体）的体积=底面积×

高。

如果用V表示体积,S表示底面积,h表示高,那么长方体（或正方体）的体积公式可以写成V=Sh。

十三、容积的计算方法

1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公式求出物体的容积。

2.体积和容积的区别与联系。

（1）不同点。

①意义不同。

Ⅰ.物体所占空间的大小叫作物体的体积。

Ⅱ.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。

②测量方法不同。

Ⅰ.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高或棱长。

Ⅱ.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高或棱长。

③单位名称不完全相同。

Ⅰ.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。

Ⅱ.容积一般用体积单位,但在计量液体（如药水、汽油等）的体积时,常用升或毫升作单位。

（2）相同点。

计算公式相同。

长方体（或正方体）的体积（或容积）=底面积×

易错点:

误认为一个长方体中最多有4条相等的棱。

这是错误的,一定要注意长方体的6个面不一定都是长方形,也可能有2个相对的面是正方形。

当长方体有2个相对的面是正方形时,就有8条棱长度相等。

直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱,虚线表示看不到的棱。

长方体12条棱的长度和叫作长方体的棱长总和。

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×

4。

误认为有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。

这是不正确的,一定要注意有6个面、12条棱、8个顶点并不代表它就是长方体或正方体,要看它是否具备长方体或正方体的所有特征,如下图,这个立体图形既不是长方体,也不是正方体。

正方体的棱长总和:

12。

正方体具有长方体的一切特征,正方体是特殊的长方体。

同一个立体图形,沿不同的棱剪开,得到的展开图不同。

技巧:

正方体有6个相同的面,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。

长方体有3组相对的面,可以通过看是否完全隔开,完全隔开的一组面就是相对的两个面。

当所求的长方体的表面积是6个面的面积时,先分别求出每组相对的面中一个面的面积,相加后再乘2较简便。

举例:

大厅里有8根高为5米的方柱需要涂油漆,方柱的横截面是边长为0.5米的正方形,若1千克油漆可以涂5平方米,则涂这8根方柱需要多少千克油漆?

错解:

（0.5×

0.5×

2+0.5×

5×

4）×

8÷

1=16.8（千克）

答:

涂这8根方柱需要16.8千克油漆。

正解:

4×

1=16（千克）

涂这8根方柱需要16千克油漆。

一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。

因为容器都有一定的厚度,所以一个容器的体积一般大于它的容积。

并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。

误认为容积就是体积,这是不对的,一定要注意“容积”与“体积”的不同。

如一本书有体积,却没有容积。

较大容器盛装液体时用“升”作单位,较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。

巧记:

体积单位常用到,相邻进率是1000。

高级单位化低级,要把此数乘1000。

低级单位化高级,除以1000把数算。

转换过程要细心,掌握进率是关键。

明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。

1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。

长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成,它的长、宽、高就分别是几厘米,它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。

如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的23倍,即8倍;

反之,如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的,那么它的体积就缩小到原来的,即。

a也可以写成“a3”,即a·

a=a3,读作“a的立方”,表示3个a相乘。

因此,正方体的体积公式一般写成V=a3。

写a3时,“3”要写在a的右上角,且要略小一些。

如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的8倍;

反之,如果一个正方体的棱长缩小到原来的,那么它的体积就缩小到原来的。

在有些实际问题中,也可以用“横截面的面积×

长”来计算体积。

运用通用公式进行计算时,一定要注意单位的统一。

如一个长方体的底面积是8平方厘米,高是3分米,求体积。

8×

3=24（立方厘米）

3分米=30厘米,8×

30=240（立方厘米）

计算体积从外面测量长、宽、高;

计算容积从里面测量长、宽、高。

有的物体既有体积,也有容积,如箱子、油桶、瓶子等。

有的物体有体积,却没有容积,如石头、木头这类实心的物体。

既有体积又有容积的物体,它的体积一定大于它的容积。

只有在容器厚度忽略不计的情况下,容积才可以看作与体积相等。

容积、体积孪兄弟,只是度量不统一。

容积心中装物体,体积只想占空间。

容积尺寸从里测,体积尺寸从外量。

记住二者不同处,计算才能少失误。