高考数学简单版6圆锥曲线中点弦垂直平分线简单难度讲义 2Word格式.docx

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2）若,则

2.弦中点问题：

除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.

1）设椭圆或双曲线方程：

上两点，，的中点为，则

3）掌握抛物线上两点连线的斜率公式

3.设而不求法：

解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点,弦中点为，将点坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法

具体有：

1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0），则有．

2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0）则有

3）y2=2px（p>

0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M（x0,y0）,则有2y0k=2p,即y0k=p.

二、中点弦常考题型

1.

设,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为的,其它点不要随便设为.为弦的中点.

设直线方程为,不要设为,因为在椭圆标准方程中会出现.

联立直线与椭圆方程

消去,得,即

设,则

中的高次项是可消去的.

（由求分子是可消去的）

故中点的坐标为

定点设为，则

故，，

2.以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上

易知点坐标

注意:

①不能把代入方程中求,因为点不在直线上.

②由求分子是可消去的.

故在椭圆上.

则

两边同时乘以得

3.弦的垂直平分线交轴分别为点

中点的坐标为

垂直平分线方程为

令,得到点坐标为

经典例题

一．选择题（共9小题）

1．（2016秋•山西校级月考）过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（　　）

A．1B．2

C．﹣1D．﹣2

2．（2012秋•海曙区校级期末）已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（　　）

A．B．

C．D．

3．（2013秋•鹿城区校级期中）直线l与双曲线的同一支相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y=2x上，则直线AB的斜率为（　　）

A．4B．2

4．（2017秋•东湖区校级期末）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是（　　）

A．x+2y+8=0B．x+2y﹣8=0

C．x﹣2y﹣8=0D．x﹣2y+8=0

5．（2018春•屯溪区校级期中）椭圆的一条弦被A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程（　　）

A．x﹣2y=0B．2x+y﹣10=0

C．x+2y﹣8=0D．2x﹣y﹣2=0

6．（2016秋•福建期末）若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（　　）

A．2B．﹣2

7．（2016秋•西陵区校级期末）已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为（　　）

A．﹣2B．1

C．2D．3

8．（2016秋•潮州期末）若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

9．（2016秋•南关区校级期末）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（　　）

C．2D．﹣2

二．填空题（共3小题）

10．（2014秋•砀山县校级月考）在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为　　．

11．（2011•天山区校级模拟）设抛物线y2=4x的一条弦AB以为中点，则该弦所在直线的斜率为　　．

12．（2017秋•历城区校级期中）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为　　．

三．解答题（共3小题）

13．（2014秋•黄石港区校级期中）求以点（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在的直线方程．

14．（2016秋•麦积区校级期末）已知椭圆+=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．

（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；

（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．

15．（2016•太原三模）已知点P是圆F1：

（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．

（I）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．