市北资优九年级分册 第26章 262 二次函数的图像+阳初冬Word格式.docx

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1

2

3

Y＝x2

根据表中x、y的数值在坐标平面中描点（x,y），再用平滑曲线顺次联结各点，就得到y＝x2的图像（图26.2.2）

观察表格中的数据，当自变量，取互为相反数的两个数时，它们所对应的函数值有什么关系？

可以看出，二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展，它的形状类似于投掷物品在空中所经过的路线，这类曲线称为抛物线，只是这条曲线开口向上，二次函数的图像就称为抛物线

图26.2.

（1）图26.2.

（2）

实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下，一般地，二次函数的图像叫做抛物线

观察抛物线的形状，位置有哪些特征？

y轴是抛物线的对称；

抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点。

实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。

分别在与的图像上画横坐标相同的任意两点，它的纵坐标互为相反数，可知两个图像关于x轴对称，可利用它们的对称性，由其中一个函数的图像画另一个函数的图像。

例1在同一个平面直角坐标系中，画出函数、的图像

解分别填表，取自变量x的一些值，计算出相应的函数值。

x

－4

4

－

根据表中x、y的数值在坐标平面内描点（x、y）,再用平滑曲线顺次联结各点，就得到、的图像（图26.2.3）

它们可分别称为抛物线和抛物线。

函数、的图像与函数的图像，有何异同？

相同点：

开口向上，对称轴是y轴，顶点是坐标原点；

不同点：

开口程度不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小。

例2在同一平面直角坐标系中，画出系数的图像。

解：

分别填表，取自变量x的一些值，计算出相应的函数值。

y＝－x2

根据表中x、y的数值在坐标平面中描点（x、y）,再用平滑曲线顺次联结各点，就得到的图像（图26.2.4）。

在与的图像上横坐标相同的任意两点，它们的纵坐标互为相反数，可知这两个图像关于x轴成轴对称。

归纳

抛物线（其中a是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x＝0；

顶点坐标是原点，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a＞0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当a＜0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点；

｜a|系数越大，抛物线的开口越小。

练习26.2

（1）

1、在同一平面直角坐标系xOy中，画出下列二次函数的图像；

（1）

2、二次函数的图像是___________，它的对称轴是_________，顶点坐标是________,开口方向是_________.

3、已知点在抛物线上，那么a的值是_______.

4、抛物线经过点A（3,n），则n＝_______，且点A关于抛物线对称轴的对称点A1的坐标是_______.

5、已知二次函数的图像开口向下，求m的值。

6、已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和－2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式，该抛物线也经过点B吗？

请说出你的理由。

2、二次函数的图像、二次函数的图像

例3在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像

y＝x2＋1

y＝x2－1

然后用描点法平滑曲线顺次联结各点，就得到函数的图像（图26.2.5）

函数的图像与函数的图像进行比较，函数的图像有哪些特征？

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

向上

y轴

（0，0）

（0，1）

（0，－1）

原点（0,0）向上或向下平移一个单位，所得点的横坐标不变，纵坐标加或减。

可以发现把函数的图像向上平移1个单位，就得到函数的图像，把函数的图像向下平移1个单位，就得到函数的图像。

归纳1

一般二次函数的图像可通过将二次函数的图像向上（c＞0）或向下（c＜0）平移个｜c|个单位得到。

抛物线（其中a、c是常数，且a≠0）的对称轴是y轴（即直线x＝0），顶点坐标是（0,c），抛物线的开口方向是a所取值的符号决定，当a＞0时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当a＜0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点。

例4在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像

分别填表，取自变量x的一些值，计算出相应的函数值

然后用描点法平滑曲线顺次联结各点，就得到函数的图像（图26.2.6）

向下

x＝0

x＝－1

（－1,0）

x＝1

（1，0）

原点（0，0）向左或向右平移一个单位，所得点的纵坐标不变，横坐标加或减1.

可以发现把函数的图像向左平移1个单位，就得到函数的图像，把函数的图像向右平移1个单位，就得到函数的图像。

归纳2

抛物线（其中a、m是常数，且a≠0）的图像可通过将二次函数的图像向左（m＞0）或向右（m＜0）平移|m|个单位得到。

抛物线（其中a、m是常数，且a≠0）的对称轴是过点（－m,0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x＝－m；

顶点坐标是（－m，0）,当a＞0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；

练习26.2

（2）

1、函数与函数图像的形状相同，开口方向相反，将函数图像沿y轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是__________。

2、二次函数图像经过点，求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标。

3、函数的图像是________，开口______，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最______点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由的图像向_______平移_____个单位得到的。

４、二次函数的图像关于直线x＝－5对称，那么它的解析式是_______；

图像的顶点坐标是_________.

5、抛物线绕顶点旋转１８００后，再向左平移３个单位得到的抛物线_______。

６、已知二次函数，当a为何值时，图像的顶点在x轴上。

参考答案

练习２６.2

（1）

1、略

2、抛物线y轴或直线x＝0，（0，0）向下

3、

4、27（－3，27）

5、

6、抛物线的表达式为不经过，因为当x＝－2时，，而B点坐标为

1、

2、二次函数开口向下（0，1）

3、抛物线向下直线x＝－3（－3，0）高0左4

4、（－5，0）

6、a≠0的一切实数

配套练习

1、已知二次函数的图像经过Q（－1，－2），求a的值，并写出它的解析式，在直角坐标系xOy中，画出下列它的图像。

2、如果抛物线经过点（cos60°

sin30°

）,那么a＝______，它的函数表达式是________.

3、若把抛物线（a≠0）绕着顶点旋转180°

，所得到抛物线的表达式是_________；

若把抛物线沿x轴翻折，所得到的抛物线的表达式是________，由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线_______重合的（选填“是”或“不是”）

4、当m＝______时，函数是二次函数，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______。

5、如图，在平面直角坐标内，已知抛物线（a＞0）上有两个点A、B它们的横坐标分别为－1、2,若△AOB为直角三角形，求a的值。

（第5题）

1、把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是__________。

2、在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是______。

3、二次函数中，图像以直线x＝2为对称轴，且经过点（0，1）的是________。

4、在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为A（1，－4），并且经过点B（3，0）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使得平移后所得图像经过坐标原点？

并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标。

5、二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、A3、…、A100在y轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…、B100在二次函数位于第一象限的图像上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B2A3、…、△A99B100A100都为等边三角形，则△A99B100A100的边长＝______.

（第5题）

1、a=－2，图像略

2、

3、是

4、－3向上低y轴（x=0）

5、a的值为或1

练习26.2

（2）

2、

3、

4、

（1）

（2）1个单位（4，0）

5、100