届福建省南平市高三第二次综合质量检查数学理试题Word版含答案Word下载.docx

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9．在中，若，边上中线长为3，则（）

A．-7B．7C．-28D．28

10．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

A．-1008B．-1010C．1009D．1007

11．已知顶点在同一球面上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球的体积为，则图中的的值是（）

12．若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是（）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若实数满足，且的最大值为4，则的最小值为．

14．已知实数满足，则的取值范围是．

15．直线与椭圆相交于两点，若（为坐标原点），则以点为圆心且与直线相切的圆方程为．

16．在中，若，则角．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．设为数列的前项和，已知，，．

（Ⅰ）求证：

是等差数列；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．某地区某农产品近五年的产量统计如下表：

（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；

（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格（单位：

元）与年产量（单位：

万吨）满足的函数关系式为，且每年该农产品都能售完．求年销售额最大时相应的年份代码的值，

附：

对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的计算公式：

，．

19．如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.

平面平面；

（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°

，求二面角余弦值．

20．过点任作一直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线．

（Ⅰ）记的交点的轨迹为，求的方程；

（Ⅱ）设与直线交于点（异于点），且，．问是否为定值？

若为定值，请求出定值．若不为定值，请说明理由.

21．己知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的最小值为-1，，数列满足，，记，表示不超过的最大整数．证明：

．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，（），曲线与曲线分别交于两点．

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

23．选修4-5：

不等式选讲

已知函数，．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若关于的不等式有解，求的取值范围.

数学理试题参考答案

一、选择题

1-5:

CDCAD6-10:

CCBAC11、12：

BA

二、填空题

13．214．15．16．

三、解答题

17．（Ⅰ）证：

当时，，

代入已知得，，

所以，

因为，所以，

所以，故是等差数列；

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以

从而，当时，

，

又适合上式，所以．

①

②

②－①得，

18．解：

（Ⅰ）由题意可知：

，，

∴关于的线性回归方程为；

即2018年该农产品的产量为6.69万吨

（Ⅱ）当年产量为时，年销售额（万元），

因为二次函数图像的对称轴为，又因为，

所以当时，即2016年销售额最大，于是.

19．（Ⅰ）证明：

取中点，连接，设，，

依题意得，四边形为正方形，且有，，

所以，所以，

又平面底面，平面底面，底面，

所以平面.

又平面，所以平面平面

（Ⅱ）过点作的垂线，交延长线于点，连接，

因为平面底面，平面底面，

平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，

为斜线与底面所成的角，即

由（Ⅰ）得，，所以在中，，，，

在中，，，，由余弦定理得，

所以，从而，

过点作，所以底面，

所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面的法向量

得

取得，

得，

取得，，

故所求的二面角的余弦值为.

20．解（Ⅰ）设切点，，交点

由题意得切线的方程为，

切线的方程为，

又因为点分别在直线上，

所以,

则直线的方程为，又因为点在直线上，

所以，即切线交点的轨迹的方程是.

（Ⅱ）设点，

，因为，

因此，，

即，，

又因为点在抛物线上，

（1）

由于点在直线上，所以，

把此式代入

（1）式并化简得：

（2），

同理由条件可得：

（3），

由

（2），（3）得是关于的方程的两根，

由韦达定理得.即为定值.

21．解：

（Ⅰ）函数的定义域为.

1、当时，，即在上为增函数；

2、当时，令得，即在上为增函数；

同理可得在上为减函数.

（Ⅱ）有最小值为-1，由（Ⅰ）知函数的最小值点为，

即，则，

令

当时，，故在上是减函数

所以当时

∵，∴.（未证明，直接得出不扣分）

则.由得，

从而.∵，∴.

猜想当时，.

下面用数学归纳法证明猜想正确.

1、当时，猜想正确.

2、假设时，猜想正确.

即时，.

当时，有，

由（Ⅰ）知是上的增函数，

则，即，

由得.

综合1、2得：

对一切，猜想正确.

于是，，则.

故

22．解：

（Ⅰ）因为，，所以曲线的极坐标方程为

，即

由（为参数），消去，

即得曲线直角坐标方程为

将，，代入化简，

可得曲线的极坐标方程为

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，

由

（1）得，

即

23．解：

（Ⅰ）当时，即解不等式

当时，不等式可化为，即，与矛盾无解

当时，不等式可化为，

即，所以解得

综上所述，不等式的解集为

（Ⅱ）

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，

不等式有解等价于，

故的取值范围为