一类轨迹问题的探求阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线Word文档下载推荐.docx
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类题1：
（1994,全国卷）已知直角坐标平面上点动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数迹方程，说明它表示什么曲线.
本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力解：
如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是
P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ>
0.——2分
因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.——4分
设点M的坐标为（x，y），则x2y21x22y2——5分
整理得（λ2－1）（x2+y2）－4λ2x+（1+4λ2）=0.
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.——8分
55
当λ=1时，方程化为x=5，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（5，0），
44
该圆圆心的坐标为（22，0），半径为13——12分
2121
类题2：
（2008，江苏）满足条件AB2，AC2BC的ABC的面积的最大值是
类题3：
（2002，全国）已知点P到两定点M（1,0）、N（1,0）距离的比为2，点N到直
线PM的距离为1，求直线PN的方程
解：
设P的坐标为（x,y），由题意有|PM|2，即
|PN|
（x1）2y22（x1）2y2，整理得x2y26x10
因为点N到PM的距离为1，|MN|2
33
所以PMN30，直线PM的斜率为，直线PM的方程为y（x1）33
3
将y（x1）代入x2y26x10整理得x24x10
解得x23，x23
则点P坐标为（23,13）或（23,13）
（23,13）或（23,13），直线PN的方程为yx1或yx1．
类题4：
（2006，四川）已知两定点A（2,0）,B（1,0）,如果动点P满足条件PA2PB,则
点P的轨迹所包围的图形的面积等于
点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为S，设Sf（），试判断函数的单调性．
（2011，北京）曲线C是平面内与两个定点F1（1,0）和F2（1,0）的距离的积等于常
数a2（a1）的点的轨迹.给出下列三个结论：
1曲线C过坐标原点；
2曲线C关于坐标原点对称；
12
3若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2
其中正确命题的序号为
背景展示：
在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（CassiniOval），乔凡尼·
多美尼科·
卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。
他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。
为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。
卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的。
探究：
设两定点为F1,F2，且F1F22，动点P满足PF1PF2a2（a0且为定值）,
取直线F1F2作为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P（x,y），则
（x1）2y2（x1）2y2a2
整理得：
（x2
y2）2
222
2（xy）a1
解得：
2y
（x2
1）4x2a2（1ax21a）
于是曲线C
的方程可化为y2（x21）4x2a2（
1ax21a）
对于常数a
0,可讨论如下六种情况：
（1）当
a
0时，图像变为两个点F1（1,0）,F2（1,0）；
（2）当
a1时，图像分为两支封闭曲线，随着a的减小而分别向点F1,F2收缩；
（3）当
1时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线；
（4）当
a2时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，
曲线中部有凹进的细腰；
（5）当
a=
2时，与前种情况一样，但曲线中部变平；
（6）当
2时，曲线中部凸起。
学有余力的同学可作进一步思考：
5：
到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么
在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如
1.（2009湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3,0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
Ⅰ）求点P的轨迹C；
别为kAF=26，kBF=26.1
当点P在C1上时，由②知PF6x.
当点P在C2上时，由③知PF3x
k（x3）
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y
i）当k≤kAF，或k≥kBF，即k≤-26时，直线I与轨迹C的两个交点M（x1，y1），
N（x2，
y2）都在C1上，此时由④知
6-x2）=12-（x1+x2）
2222
11
∣MF∣=6-x1∣NF∣=6-x
1从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-x1）
yk（x由x2y2
3627
3）
222得（34k2）x224k2x1
36k2
108
0则x1，y1是这个方程的两根，
所以x1+x2=
24k
34k2
MN∣=12-1（
x1+x2
）=12-
12k2
因为当k26,或k
26时,k2
24,
MN
123124kk2
12k12124
100
当且仅当k
26时，等号成立。
2）当kAEkkAN,26k
26时，直线L与轨迹C的两个交点
M（x1,y1）,N（x2,y2）分别在C1,C2上，不妨设点M在C1上，点C2上，则④⑤知，
设直线AF与椭圆C1的另一交点为E（x0,y0）,则x0x1,x22.
综上所述，线段MN长度的最大值为100
P到点F（1,0）的距离与点P到y轴的
2.（2011,湖南文科高考试题）已知平面内一动点距离的差等于1．
Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与
轨迹C相交于点
D,E，求
的最小值.
21．解析：
（I）设动点P的坐标为（x,y），
由题意为（x1）2y2|x|1.
化简得y22x2|x|,
当x0时,y24x;
当x0时,y=0.、所以动点P的轨迹C的方程为,y24x（x0）和y=0（x0）.
（II）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为yk（x1）．
由y2k（x1），得k2x2（2k24）xk20.y24x
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1,x2是上述方程的两个实根，于是
x1x2
242,x1x21．k
因为l1
l2，所以l2的斜率为．
k
设D（x3,y3）,B（x4,y4）,则同理可得x3x424k,x3x41
x1x2
x2）1x3x4（x3x4）1
21当且仅当k22即kk2
1时，
AD?
EB
取最小值16．
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