一类轨迹问题的探求阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线Word文档下载推荐.docx

1、类题 1： （1994,全国卷 ） 已知直角坐标平面上点 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|的比等于常数 迹方程，说明它表示什么曲线 .本小题考查曲线与方程的关系， 轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力 解：如图，设 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合是P=M|MN|=|MQ|，式中常数 0. 2 分因为圆的半径 |ON|=1，所以 |MN|2=|MO|2|ON|2=|MO|21. 4 分设点 M 的坐标为 （x，y），则 x2 y2 1 x 2 2 y2 5 分整理得 （21）（x2+y2 ） 4 2x+（1+4 2）=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P

2、.故这个方程为所求的轨迹方程 . 8分55当 =1 时，方程化为 x= 5 ，它表示一条直线，该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点 （ 5 ， 0），44该圆圆心的坐标为 （ 22 ，0），半径为 1 3 12 分2 1 2 1类题 2：（ 2008，江苏）满足条件 AB 2，AC 2BC 的 ABC的面积的最大值是 类题 3：（2002，全国）已知点 P到两定点 M（ 1,0） 、 N （1,0）距离的比为 2，点 N到直线 PM 的距离为 1 ，求直线 PN 的方程解：设 P的坐标为 （ x, y） ，由题意有 |PM | 2，即| PN |（x 1）2 y2 2 （x 1）2 y2 ，整

3、理得 x2 y2 6x 1 0因为点 N 到 PM 的距离为 1，|MN | 233所以 PMN 30 ，直线 PM 的斜率为 ，直线 PM 的方程为 y （x 1） 333将 y （x 1） 代入 x2 y2 6x 1 0整理得 x2 4x 1 0解得 x 2 3， x 2 3则点 P 坐标为 （2 3,1 3）或 （2 3, 1 3）（2 3, 1 3）或（2 3,1 3），直线 PN的方程为 y x 1或 y x 1类题 4：（2006，四川）已知两定点 A（ 2,0）, B（1,0）,如果动点 P 满足条件 PA 2PB,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 点的轨迹围成的平面区域的

4、面积为 S，设 S f （ ） ，试判断函数的单调性（2011，北京）曲线 C是平面内与两个定点 F1（ 1,0）和 F2（1,0）的距离的积等于常数 a2（a 1） 的点的轨迹 .给出下列三个结论：1曲线 C 过坐标原点；2曲线 C 关于坐标原点对称；123若点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2 的面积不大于 a2其中正确命题的序号为 背景展示： 在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西 尼卵形线（ Cassini Oval ），乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学 家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人 .1675 年，他发现土星光环中

5、间有 条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个 多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测 土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是 1675 年他在研究土星及 其卫星的运行规律时发现的。探究： 设两定点为 F1, F2 ，且 F1F2 2，动点 P满足 PF1 PF2 a2（a 0且为定值 ）,取直线 F1F2作为 x轴， F1F2的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，设 P（x, y） ，则（x 1）2 y2 （x 1）2 y2 a2整理得：（x2y2）22 2 22（x y ） a 1解得：2 y

6、（ x21） 4x2 a2 （1 a x2 1 a ）于是曲线 C的方程可化为 y2 （ x2 1） 4x2 a2 （1 a x 2 1 a ）对于常数 a0,可讨论如下六种情况：（1）当a0时，图像变为两个点 F1（ 1,0）, F2（1,0） ；（2）当a 1时，图像分为两支封闭曲线，随着 a的减小而分别向点 F1,F2 收缩；（3）当1时，图像成 8 字形自相交叉，称为双纽线；（4）当a 2 时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；（5）当a=2 时，与前种情况一样，但曲线中部变平；（6）当2 时，曲线中部凸起。学有余力的同学可作进一步思考：5：到定点的距离与到定直线的

7、距离之积为定值的定点轨迹是什么在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1.（ 2009湖南）在平面直角坐标系 xOy中，点 P 到点 F（3,0）的距离的 4倍与它到直线 x=2 的距离的 3倍之和记为 d，当 P点运动时， d恒等于点 P的横坐标与 18 之和）求点 P 的轨迹 C；别为 kAF = 2 6 ， kBF = 2 6 . 1当点 P在C1上时，由知 PF 6 x .当点 P 在 C2上时，由知 PF 3 xk（x 3）若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 yi）当k kAF ，或k kBF ，即k-2 6时，直线 I与轨迹C的两个交点

8、 M（ x1， y1 ），N（ x2 ，y2 ）都在 C 1 上，此时由知6 - x2 ） =12 - （ x1 + x2 ）2 2 2 211MF= 6 - x1 NF= 6 - x1 从而 MN = MF+ NF= （6 - x1 ）y k（x 由 x2 y236 273）2 2 2 得 （3 4k2）x2 24k2x 136k21080 则 x1 ， y1 是这个方程的两根，所以 x1+ x2 =24k3 4k2MN =12 - 1 （x1+ x2）=12 -12k2因为当 k 2 6, 或k2 6时,k224,MN12 3124kk212 k12124100当且仅当 k2 6 时，等号

9、成立。2）当 kAE k kAN , 2 6 k2 6 时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点M （ x1, y1）, N（x2,y2） 分别在 C1,C 2上，不妨设点 M 在 C1上，点 C2上，则知，设直线 AF 与椭圆 C1的另一交点为 E（x0,y0）,则x0 x1,x2 2.综上所述，线段 MN 长度的最大值为 100P 到点 F （1,0） 的距离与点 P 到 y 轴的2. （ 2011, 湖南文科高考试题）已知平面内一动点 距离的差等于 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；） 过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2，设l1与轨迹 C相交于点 A,B ，l2与轨迹 C

10、 相交于点D,E ，求的最小值 .21解析：（I）设动点 P的坐标为 （x,y），由题意为 （x 1）2 y2 |x| 1.化简得 y2 2x 2|x|,当 x 0时, y2 4x;当x 0时 ,y=0. 、 所以动点 P的轨迹 C 的方程为 ,y2 4x（x 0）和y=0（ x 0）.（ II ）由题意知，直线 l1的斜率存在且不为 0，设为 k，则 l1的方程为 y k（x 1）由 y 2k（x 1），得 k2x2 （2k2 4）x k2 0. y2 4x设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,则 x1, x2是上述方程的两个实根，于是x1 x22 42 ,x1x2 1 k因为 l1l2，所以 l2 的斜率为 k设D（x3,y3）,B（x4, y4）,则同理可得 x3 x4 2 4k ,x3x4 1x1x2x2） 1 x3x4 （x3 x4 ） 121 当且仅当 k2 2 即 k k21时，AD ? EB取最小值 16