江苏省徐州市高三三模考试数学试题及答案Word下载.docx
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(1)求的值;
(2)若点在边上,且,,求△的面积.
16.(本小题满分14分)
(第16题图)
F
A
C
D
E
B
如图,在五面体中,已知平面,,,,.
(1)求证:
;
(2)求三棱锥的体积.
17.(本小题满分14分)
根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率×
100%).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额)
(1)将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数;
(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?
最大日利润是几千元?
18.(本小题满分16分)
如图,已知,,,分别是椭圆的四个顶点,△是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆.
(1)求椭圆及圆的方程;
(2)若点是圆劣弧上一动点(点异于端点,),直线分别交线段,椭圆于点,,直线与交于点.
()求的最大值;
()试问:
,两点的横坐标之和是否为定值?
若是,求出该定值;
若不是,说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知数列,满足,,,.
数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设数列满足,对于任意给定的正整数,是否存在正整数,(),使得,,成等差数列?
若存在,试用表示,;
若不存在,说明理由.
20.(本小题满分16分)
已知函数.
(1)当时,求函数的单调增区间;
(2)当时,求函数在区间上的最小值;
(3)记函数图象为曲线,设点,是曲线上不同的两点,点为线段的中点,过点作轴的垂线交曲线于点.试问:
曲线在点处的切线是否平行于直线?
并说明理由.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:
几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,DE交AB于点F.求证:
△PDF∽△POC.
B.选修4-2:
矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵(,为实数).若矩阵属于特征值2,3的一个特征向量分别为,,求矩阵的逆矩阵.
C.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在极坐标系中,已知圆的圆心为,半径为,点为圆上异于极点的动点,求弦中点的轨迹的极坐标方程.
D.选修4-5:
不等式选讲(本小题满分10分)
已知,,,且.求证:
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在直三棱柱中,已知,,.
(1)求异面直线与夹角的余弦值;
(2)求二面角平面角的余弦值.
23.(本小题满分10分)
在数列中,已知,,(,).
(1)当,时,分别求的值,判断是否为定值,
并给出证明;
(2)求出所有的正整数,使得为完全平方数.
数学Ⅰ参考答案与评分标准
二、解答题
15.
(1)由题意知,………………………………2分
又,,所以,………………………4分
即,即,……………………………6分
又,所以,所以,即.…………7分
(2)设,由,得,
由
(1)知,所以,,
在△中,由余弦定理,得,……10分
解得,所以,………………………12分
所以.…………………………14分
16.
(1)因为,平面,平面,
所以平面,………………………………3分
又平面,平面平面,
所以.………………………………6分
(2)在平面内作于点,
因为平面,平面,所以,
又,平面,,
所以平面,
所以是三棱锥的高.………………9分
在直角三角形中,,,所以,
因为平面,平面,所以,
又由
(1)知,,且,所以,所以,……12分
所以三棱锥的体积.……14分
17.
(1)由题意可知,
…………………………4分
(2)考虑函数
当时,,函数在上单调减.
所以当时,取得极大值,也是最大值,
又是整数,,,所以当时,有最大值.……10分
当时,,所以函数在上单调减,
所以当时,取得极大值,也是最大值.
由于,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大.
答:
当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大日利润是千元.……14分
18.
(1)由题意知,,,
所以,,所以椭圆的方程为,………………………2分
易得圆心,,所以圆的方程为.…4分
(2)证明:
设直线的方程为,
与直线的方程联立,解得点,……………6分
联立,消去并整理得,,解得点,
……………9分
()
,当且仅当时,取“=”,
所以的最大值为.…………………………12分
()直线的方程为,
与直线的方程联立,解得点,……14分
所以、两点的横坐标之和为.
故、两点的横坐标之和为定值,该定值为.…………………16分
19.
(1)因为,所以,
则,………………………2分
所以,
又,所以,故是首项为,公差为的等差数列,……4分
即,所以.………………………6分
(2)由
(1)知,所以,
①当时,,,,
若,,成等差数列,则(),
因为,所以,,,,
所以()不成立.…………………………9分
②当时,若,,成等差数列,
则,所以,
即,所以,………………………12分
欲满足题设条件,只需,此时,………………14分
因为,所以,,
即.…………………………15分
综上所述,当时,不存在,满足题设条件;
当时,存在,,满足题设条件.…16分
20.
(1),……2分
因为,,所以,解,得,
所以的单调增区间为.…………………4分
(2)当时,由,得,,
①当>
1,即时,在上是减函数,
所以在上的最小值为.…………………6分
②当,即时,
在上是减函数,在上是增函数,
所以的最小值为.……………………8分
③当,即时,在上是增函数,
所以的最小值为.
综上,函数在区间上的最小值
………………………10分
(3)设,则点N的横坐标为,
直线AB的斜率
=,
曲线C在点N处的切线斜率
,
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB,则,
即,………………………………13分
所以,不妨设,,则,
令,,
所以在上是增函数,又,所以,即不成立,
所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB.…………………………16分
数学Ⅱ参考答案与评分标准
矩阵与变换
由题意知,,,
所以解得……………………5分
所以,所以.……………………10分
坐标系与参数方程
由题意知,圆的极坐标方程为,………………4分
设弦中点为,则,
因为点在圆上,所以,即,………………9分
又点异于极点,所以,
所以弦中点的轨迹的极坐标方程为.………………10分
不等式选讲
因为
,………8分
当且仅当,即时,取等,
所以.…………………10分
22.如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系.
则,,,,所以,,
,.
(1)因为,
所以异面直线与夹角的余弦值为.
(2)设平面的法向量为,
则即
取平面的一个法向量为;
所以二面角平面角的余弦值为.…………………………10分
22.
(1)记“演出成功”为事件,
则事件由三个互斥事件构成:
,,,
因为,
所以.
所以演出成功的概率为.……………………………………………………4分
(2)的可能取值为4,5,6,7,8.
因为,.
所以的概率分布为
4
5
6
7
8
………………8分
演出节目总数的数学期望为6.………………………………………10分
23.
(1)由已知得,.
所以时,;
当时,.………2分
猜想:
().…………………………………………3分
下面用数学归纳法证明:
①当时,结论成立.
②假设当时,结论成立,即,
将代入上式,可得.
则当时,
故当结论成立,
根据①,②可得,()成立.………………………………5分
(2)将代入,得,
则,,
设,则,
即,……………………………………7分
又,且501=1501=3167,
故或
所以或
由解得;
由得无整数解.
所以当时,满足条件.…………………………………10分