指数函数对数函数幂函数数学概要文档格式.docx

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（1）当为奇数时，；

当为偶数时，

（2）

3.分数指数幂的意义：

　　；

　　注意：

0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

（1）

（2）（3）

知识点二：

指数函数及其性质

1.指数函数概念

　　一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

2.指数函数函数性质：

函数

名称

指数函数

定义

函数且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，.

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响

在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；

在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.

知识点三：

对数与对数运算

1.对数的定义

（1）若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，

　　　叫做真数.

（2）负数和零没有对数.

　　（3）对数式与指数式的互化：

.

2.几个重要的对数恒等式

　　，，.

3.常用对数与自然对数

　　常用对数：

，即；

自然对数：

，即（其中…）.

4.对数的运算性质

　　如果，那么

　　①加法：

　　②减法：

　　③数乘：

　　④

　　⑤

　　⑥换底公式：

知识点四：

对数函数及其性质

1.对数函数定义

　　一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.

2.对数函数性质：

对数函数

函数且叫做对数函数

在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；

在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.

知识点五：

反函数

1.反函数的概念

　　设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.

2.反函数的性质

（1）原函数与反函数的图象关于直线对称.

（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.

　　（3）若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.

　　（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.

3.反函数的求法

（1）确定反函数的定义域，即原函数的值域；

（2）从原函数式中反解出；

　　（3）将改写成，并注明反函数的定义域.

知识点六：

幂函数

1.幂函数概念

　　形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

2.幂函数的性质

（1）图象分布：

幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限

　　　无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象

　　　关于轴对称）；

是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图

　　　象关于原点对称）；

是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象

　　　限.

（2）过定点：

所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过

　　　点.

（3）单调性：

如果，则幂函数的图象过原点，并且在

　　　上为增函数.如果，则幂函数的图象在

　　　上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.

　　（4）奇偶性：

当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当（其中

　　　互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则

　　　是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.

　　（5）图象特征：

幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若

　　　，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若

　　　，其图象在直线下方.

四、规律方法指导

思维总结

　　1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底；

　　2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；

进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

　　3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

　　4．指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

　　5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

　　6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.

经典例题透析

类型一：

指数、对数运算

例1．化简：

．

思路点拨：

运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．

例2．计算

（1）

（2）

（3）

例3．设、、为正数，且满足

（1）求证：

；

（2）若，，求、、的值．

类型二：

指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

例4．设（）

A．0B．1C．2D．3

例5．（2011江西理）若，则的定

义域为（）．

A.B.C.D.

例6．已知，试求函数f（x）的单调区间．

例7．已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．

解析：

（2）解法一：

解法二：

例8．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）

A．m≤-1B．-1≤m<

0C．m≥1D．0<

m≤1

例9．函数是幂函数，且在（O，+∞）上为减函数，求实数的值．

利用幂函数的定义及性质．

类型三：

综合问题

例10．设函数的x的取值范围．

例11．已知函数

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性；

（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．

例12．设，，且，求的最小值．

知识导学：

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固

测评系统分数：

_____________模拟考试系统分数：

_____________

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