新课标人教A版高中数学选修21单元测试第三章综合素质检测Word格式文档下载.docx

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＝0　　　　B.·

＝0

C.·

＝0D.·

[答案]　B

[解析]　①⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒·

＝0；

②同①知·

③PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·

④若·

＝0，则BD⊥PC，

又BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，

但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC，故选B.

4．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为（　　）

A.　　　B.　　　

C.　　　D.

5．已知a＝（λ＋1,0,2），b＝（6,2μ－1,2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　）

A．2，B．－，

C．－3,2D．2,2

[解析]　∵a∥b，∴存在实数k，使b＝ka，即：

（6,2μ－1,2λ）＝（kλ＋k,0,2k），

∴，∴或，故选A.

6.在正三棱柱ABC－A1B1C1，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小（　　）

A．60°

B．90°

C．105°

D．75°

[解析]　解法一：

设＝a，＝b，＝c，AB＝，则

|a|＝|b|＝，|c|＝1，a·

c＝0，b·

c＝0，a·

b＝1.

∴＝＋＝a＋c，

＝＋＝（b－a）＋c，

∵·

＝a·

b－|a|2＋a·

c＋c·

b－c·

a＋|c|2＝0，

∴⊥，即AB1⊥C1B.

解法二：

取AC中点D，建立如图所示的坐标系．

设AB＝1，则B，C1，A，B1，

∴cos〈，〉＝＝0.

∴AB1与C1B所成的角为90°

.

7．在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是（　　）

A.＝2－－

B.＝＋＋

C.＋＋＝0

D.＋＋＋＝0

[答案]　C

[解析]　∵点M在平面ABC内，∴对空间任一点O，有＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，故A、B、D均不对．

8．如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q，则（　　）

A．Q为CD的中点

B．Q与D重合

C．Q与C重合

D．以上都不对

9．如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝MA，N为BC中点，则等于（　　）

A.a－b＋c

B．－a＋b＋c

C.a＋b－c

D.a＋b－c

[解析]　＝－＝（＋）－

＝（b＋c）－a＝－a＋b＋c.

故选B.

10．如图ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（　　）

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

[解析]　正方体中，BD∥B1D1，且BD⊄面CB1D1，知BD∥平面CB1D1，A正确；

AC1在面ABCD内的射影为AC，又AC⊥BD，由三垂线定理知AC1⊥BD.故B正确；

同理可得AC1⊥B1D1，AC1⊥CD1，且B1D1∩CD1＝D1，∴AC1⊥平面CB1D1，故C正确；

由AD∥BC知，∠B1CB为AD与CB1所成的角，应为45°

，故D错误．

11．已知A（2，－5,1），B（2，－2,4），C（1，－4,1），则与的夹角为（　　）

A．30°

　　B．45°

C．60°

　　D．90°

[解析]　＝（0,3,3），＝（－1,1,0）．设〈，〉＝θ，则cosθ＝＝＝，

∴θ＝60°

12．已知△ABC的顶点A（1，－1,2），B（5，－6,2），C（1,3，－1），则AC边上的高BD的长等于（　　）

A．3　　　B．4　　　

C．5　　　D．6

设D（x，y，z），则＝（x－1，y＋1，z－2），＝（x－5，y＋6，z－2），＝（0,4，－3），

∵∥，且⊥，

∴，∴，

∴||＝5.

设＝λ，D（x，y，z），则（x－1，y＋1，z－2）＝λ（0,4，－3），

∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.

∴＝（－4,4λ＋5，－3λ），

又＝（0,4，－3），⊥，

∴4（4λ＋5）－3（－3λ）＝0，

∴λ＝－，∴＝，

∴||＝＝5.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）

13．过二面角α－l－β内一点P作PA⊥α于A，作PB⊥β于B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角α－l－β为________．

[答案]　120°

[解析]　设＝a，＝b，由条件知|a|＝5，|b|＝8，||＝7，

∴AB2＝||2＝|b－a|2

＝|b|2＋|a|2－2a·

b

＝64＋25－2a·

b＝49，

∴a·

b＝20，∴cos〈a，b〉＝＝，

∴〈a，b〉＝60°

，∴二面角α－l－β为120°

14．若△ABC中，∠ACB＝90°

，∠BAC＝60°

，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为________．

[答案]　2

[解析]　由条件知PC、AC、BC两两垂直，设＝a，＝b，＝c，则a·

b＝b·

c＝c·

a＝0，

∵∠BAC＝60°

，AB＝8，∴|a|＝CA＝8cos60°

＝4，|b|＝CB＝8sin60°

＝4.|c|＝PC＝4，

设＝x＝x（b－a），

则＝＋＋＝－c＋a＋x（b－a）＝（1－x）a＋xb－c，

||2＝（1－x）2|a|2＋x2|b|2＋|c|2＋2（1－x）xa·

b－2xb·

c－2（1－x）a·

c＝16（1－x）2＋48x2＋16＝32（2x2－x＋1）＝642＋28，

∴当x＝时，||2取最小值28，

∴||min＝2.

15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．

[答案]　

[解析]　不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如右图所示空间直角坐标系，其中x轴垂直于AB，y轴平行于AB.则C（0,0,0），A（，－1,0），B1（，1,2），

D，

则＝，＝（，1,2），

设平面B1DC的法向量为

n＝（x，y,1），由，

解得n＝（－，1,1）．

又∵＝，

∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为________．

[解析]　如图，以C为原点建立空间直角坐标系C－xyz，设正方体的棱长为a，则A（a，a,0），B（a,0,0），D1（0，a，a），B1（a,0，a），

∴＝（0，a,0），＝（－a，a，a），＝（0,0，a），

设平面ABD1的法向量为n＝（x，y，z），

则n·

＝（x，y，z）·

（0，a,0）＝ay＝0，

n·

（－a，a，a）＝－ax＋ay＋az＝0，

∵a≠0，∴y＝0，x＝z，

令z＝1，则n＝（1,0,1），

同理平面B1BD1的法向量m＝（－1，－1,0），

cos〈n，m〉＝＝－，

而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°

三、解答题（本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？

请说明理由．

[解析]　设c＝λ1a＋λ2b，则

⇒λ1＝，λ2＝－.

即c＝a－b.∵a、b不共线，∴a、b、c共面．

18．（本小题满分12分）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量.

[解析]　∵BG＝2GD，

∴＝.

又＝＋＝－＋－＝a＋c－2b，

∴＝＋＝b＋（a＋c－2b）

＝a－b＋c.

19．（本小题满分12分）如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．

求证：

PQ∥平面ACD.

[证明]　∵P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．

∴＝－＝－

＝（－）＝.

∴∥即PQ∥AD，

又PQ平面ACD，AD⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.

20．（本小题满分12分）已知空间三点A（0,2,3），B（－2，1,6），C（1，－1,5）．若|a|＝，且a分别与、垂直，求向量a.

[解析]　设a＝（x，y，z），

由题意得，解得或

所以a＝（1,1,1）或a＝（－1，－1，－1）．

21．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC′上是否存在一点N，使得MN⊥AB′？

若存在，请指出它的位置；

若不存在，请说明理由．

[解析]　假设在直线CC′上存在一点N，使得MN⊥AB′，设＝x.

∵＝＋＝＋x，

＝＋＝＋，

∴·

＝·

（＋）＝0，

即·

＋·

＋x·

＋x2＝0，

||||cos〈，〉＋4x＝0.

∴－＋4x＝0，∴x＝.

即在直线CC′上存在一点N，

当||＝时，MN⊥AB′.

22．（本小题满分14分）（2010·

重庆·

理，19）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．

（1）求直线AD与平面PBC的距离；

（2）若AD＝，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．

（1）如下图，在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离．

因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB.

又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．

在Rt△PAB中，PA＝AB＝，所以AE＝BP＝＝.

（2）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．

由

（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE＝＝.

在Rt△CBE中，CE＝＝.

由CD＝，所以△CDE为等边三角形，故点F为CE的中点，且DF＝CD·

sin＝.

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，FG綊AE，从而FG＝，且G点为A