不等式推理与证明知识点Word下载.docx

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．

比较两个数的大小可以用相减法、相除法、平方法、开方法、倒数法等。

2、不等式的性质：

对称性

传递性

加法单调性

乘法单调性；

同向不等式相加

异向不等式相减

⑥同向不等式相乘

异向不等式相除

⑦倒数关系

平方法则

⑨开方法则

3、一元二次不等式及其解法：

（1）定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式。

（2）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系

判别式

二次函数

的图象

一元二次方程的根

有两个相异实数根

有两个相等实数根

没有实数根

一元二次不等式的解集

4、线性规划问题：

（1）二元一次不等式

[1]定义：

含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

[2]二元一次不等式组：

由几个二元一次不等式组成的不等式组．

[3]二元一次不等式（组）的解集：

满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

（2）在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

[1]若，，则点在直线的上方．

[2]若，，则点在直线的下方．

（3）在平面直角坐标系中，已知直线．

[1]若，则表示直线上方的区域；

表示直线下方的区域．

[2]若，则表示直线下方的区域；

表示直线上方的区域．

（4）线性规划相关概念

线性约束条件：

由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：

欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：

目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：

满足线性约束条件的解．

可行域：

所有可行解组成的集合．

最优解：

使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

（5）解线性规划问题的一般步骤：

第一步：

在平面直角坐标系中作出可行域；

第二步：

在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：

解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

5、基本不等式

（1）设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

（2）均值不等式：

若，，则：

（当且仅当a=b时取等号）

注意：

“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针

（3）基本不等式定理的形式

[1]整式形式：

；

[2]根式形式：

（，）a+b

[3]分式形式：

+2（a、b同号）

[4]倒数形式：

a>

0a+2；

a<

0a+-2

（4）极值定理：

设、都为正数，则有

[1]若（和为定值），则当时，积取得最大值．

[2]若（积为定值），则当时，和取得最小值．

（5）均值不等式的推广：

[1]若则（当仅当时等号成立）

[2]公式：

（仅当时取等号）

平方平均算术平均几何平均调和平均（为正数）

特别地，（当a=b时，）

[3]

6、不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：

[1]正化：

分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

[2]标轴：

将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；

并注意奇穿过偶弹回；

[3]穿线：

根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

注：

用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

特例①一元一次不等式ax>

b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>

0（a≠0）解的讨论.

（2）分式不等式的解法：

先移项通分标准化，则：

（3）无理不等式：

转化为有理不等式求解

①②或

③

（4）.指数不等式：

转化为代数不等式

（5）对数不等式：

（6）含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值；

②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化

（7）含参不等式解法

求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

注:

1,解完之后要写上：

“综上，原不等式的解集是…”。

2,按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；

但若按未知数讨论，最后应求并集

二、基础训练A

1．若b<

0，a＋b>

0，则a－b的值（　　）

A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定

2．已知M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，若x≠2或y≠－1，则（　　）

A．M>

NB．M<

NC．M＝ND．不能确定

3．不等式（x－2）（x＋3）>

0的解集是（　　）

A．（－3,2）B．（2，＋∞）C．（－∞，－3）∪（2，＋∞）D．（－∞，－2）∪（3，＋∞）

4．函数y＝＋的定义域为（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}

5．不论x为何值，二次三项式ax2＋bx＋c恒为正值的条件是（　　）

A．a>

0，b2－4ac>

0B．a>

0，b2－4ac≤0C．a>

0，b2－4ac<

0D．a<

6．下列命题中正确的是（　　）

A．不等式x2>

1的解集是{x|x>

±

1}B．不等式－4＋4x－x2≤0的解集是R

C．不等式－4＋4x－x2≥0的解集是空集D．不等式x2－2ax－a－>

0的解集是R

7．若关于x的不等式2x－1>

a（x－2）的解集是R，则实数a的取值范围是（　　）

2B．a＝2C．a<

2D．a不存在

8．已知点M（x0，y0）与点A（1,2）在直线l：

3x＋2y－8＝0的两侧，则（　　）

A．3x0＋2y0>

10B．3x0＋2y0<

0C．3x0＋2y0>

8D．3x0＋2y0<

8

9．不等式组，表示的平面区域的面积是（　　）

A．2B．4C．6D．8

10．在直角坐标系内，满足不等式x2－y2≤0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（　　）

11．一个两位数个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．

12．已知x<

1，则x2＋2与3x的大小关系为________．

13．设集合A＝{x|（x－1）2<

3x－7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素．

14．不等式>

0的解集是________．

15．原点O（0,0）与点集A＝{（x，y）|x＋2y－1≥0，y≤x＋2,2x＋y－5≤0}所表示的平面区域的位置关系是________，点M（1,1）与集合A的位置关系是________．

三、基础训练B

1．若，则等于（）

A．B．C．D．

2．下列各对不等式中同解的是（）

A．与 

B．与

C．与 

D．与

3．若，则函数的值域是（）

A．B．C．D．

4．设,则下列不等式中恒成立的是（）

5．如果实数满足,则有（）

A．最小值和最大值1B．最大值1和最小值

C．最小值而无最大值D．最大值1而无最小值

6．二次方程,有一个根比大,另一个根比小,

则的取值范围是（）

7．若方程有实根，则实数____；

且实数____。

8．一个两位数的个位数字比十位数字大，若这个两位数小于，则这个两位数为________。

9．设函数，则的单调递减区间是。

10．当______时，函数有最_______值，且最值是_________。

11．若,用不等号从小到大

连结起来为__________。

12．解不等式

（1）

（2）

13．不等式的解集为,求实数的取值范围。

14．

（1）求的最大值，使式中的、满足约束条件

（2）求的最大值，使式中的、满足约束条件

15．已知，求证：

四、综合训练

1．一元二次不等式的解集是，则的值是（）。

A.B.C.D.

2．设集合（）

A．B．

C．D．

3．关于的不等式的解集是（）

4．下列各函数中，最小值为的是（）

A．B．，

5．如果,则的最大值是（）

6．已知函数的图象经过点和两点,

若,则的取值范围是（）

7．设实数满足，则的取值范围是___________。

8．若，全集，则___________。

9．若的解集是,则的值为___________。

10．当时，函数的最小值是________。

11．设且,则的最小值为________.

12．不等式组的解集为__________________。

13．已知集合,

又,求等于多少？

14．函数的最小值为多少？

15．已知函数的最大值为，最小值为，求此函数式。

16．设解不等式：