利用对角线法则计算下列三阶行列式Word格式文档下载.docx

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3-2´

8-1´

（-1）

=-24+8+16-4=-4.

（2）

=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc

=3abc-a3-b3-c3.

（3）;

=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2

（a-b）（b-c）（c-a）.

（4）.

=x（x+y）y+yx（x+y）+（x+y）yx-y3-（x+y）3-x3

=3xy（x+y）-y3-3x2y-x3-y3-x3

=-2（x3+y3）.

2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:

（1）1234;

解逆序数为0

（2）4132;

解逆序数为4:

41,43,42,32.

（3）3421;

解逆序数为5:

32,31,42,41,21.

（4）2413;

解逆序数为3:

21,41,43.

（5）13×

×

（2n-1）24×

（2n）;

解逆序数为:

32（1个）

52,54（2个）

72,74,76（3个）

×

（2n-1）2,（2n-1）4,（2n-1）6,×

（2n-1）（2n-2）（n-1个）

（6）13×

（2n-1）（2n）（2n-2）×

2.

解逆序数为n（n-1）:

32（1个）

52,54（2个）

42（1个）

62,64（2个）

（2n）2,（2n）4,（2n）6,×

（2n）（2n-2）（n-1个）

3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

解含因子a11a23的项的一般形式为

（1）ta11a23a3ra4s,

其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42

所以含因子a11a23的项分别是

（1）ta11a23a32a44

（1）1a11a23a32a44a11a23a32a44

（1）ta11a23a34a42

（1）2a11a23a34a42a11a23a34a42

4.计算下列各行列式:

.

（2）;

解

abcd+ab+cd+ad+1.

5.证明:

（1）=（a-b）3;

证明

=（a-b）3.

证明

（c4-c3,c3-c2,c2-c1得）

（c4-c3,c3-c2得）

（4）

=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）;

=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）.

（5）=xn+a1xn-1+×

+an-1x+an.

证明用数学归纳法证明

当n=2时,,命题成立.

假设对于（n-1）阶行列式命题成立,即

Dn-1=xn-1+a1xn-2+×

+an-2x+an-1,

则Dn按第一列展开有

=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×

+an-1x+an.

因此,对于n阶行列式命题成立.

6.设n阶行列式D=det（aij）,把D上下翻转、或逆时针旋转90°

、或依副对角线翻转,依次得

,,

证明,D3=D.

证明　因为D=det（aij）,所以

同理可证

7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）:

（1）,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;

解

（按第n行展开）

=an-an-2=an-2（a2-1）.

解将第一行乘（-1）分别加到其余各行,得

再将各列都加到第一列上,得

=[x+（n-1）a]（x-a）n-1.

解根据第6题结果有

此行列式为范德蒙德行列式

（4）;

（按第1行展开）

再按最后一行展开得递推公式

D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=（andn-bncn）D2n-2

于是.

而

所以

（5）D=det（aij）,其中aij=|i-j|;

解aij=|i-j|,

（-1）n-1（n-1）2n-2.

（6）,其中a1a2×

an¹

0.

8.用克莱姆法则解下列方程组:

（1）

解因为

所以,,,.

所以

,,,.

9.问l,m取何值时,齐次线性方程组有非零解？

解系数行列式为

令D=0,得

m=0或l=1

于是当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.

10.问l取何值时,齐次线性方程组有非零解？

解系数行列式为

=（1-l）3+（l-3）-4（1-l）-2（1-l）（-3-l）

=（1-l）3+2（1-l）2+l-3.

l=0,l=2或l=3.

于是当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解.