利用对角线法则计算下列三阶行列式Word格式文档下载.docx

1、3-28-1（-1） =-24+8+16-4=-4. （2） =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. （3）; =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 （a-b）（b-c）（c-a）. （4）. =x（x+y）y+yx（x+y）+（x+y）yx-y3-（x+y）3-x3 =3xy（x+y）-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2（x3+y3）. 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: （1）1 2 3 4; 解 逆序数为0 （2）4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. （3）3 4 2 1;

2、 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. （4）2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. （5）1 3 （2n-1） 2 4 （2n）; 解 逆序数为: 3 2 （1个） 5 2, 5 4（2个） 7 2, 7 4, 7 6（3个） （2n-1）2, （2n-1）4, （2n-1）6, , （2n-1）（2n-2） （n-1个） （6）1 3 （2n-1） （2n） （2n-2） 2. 解 逆序数为n（n-1） : 3 2（1个） 5 2, 5 4 （2个） 4 2（1个） 6 2, 6 4（2个） （2n）2, （2n）4, （2n）6,

3、, （2n）（2n-2） （n-1个） 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 含因子a11a23的项的一般形式为（ 1）ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 （ 1）ta11a23a32a44 （ 1）1a11a23a32a44 a11a23a32a44 （ 1）ta11a23a34a42 （ 1）2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4. 计算下列各行列式: . （2）; 解 abcd+ab+cd+ad+1. 5. 证明: （1）=（a-b）3; 证明 =（a-b）3 . 证明

4、 （c4-c3, c3-c2, c2-c1得） （c4-c3, c3-c2得） （4） =（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）; =（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）. （5）=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 证明 用数学归纳法证明 当n=2时, , 命题成立. 假设对于（n-1）阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ +an-2x+an-1, 则Dn按第一列展开 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 因此, 对于n阶行列式命题成立. 6.

5、 设n阶行列式D=det（aij）, 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转, 依次得 , , , 证明, D3=D . 证明因为D=det（aij）, 所以 同理可证 7. 计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）: （1）, 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解 （按第n行展开） =an-an-2=an-2（a2-1）. 解 将第一行乘（-1）分别加到其余各行, 得再将各列都加到第一列上, 得 =x+（n-1）a（x-a）n-1. 解 根据第6题结果 有此行列式为范德蒙德行列式 （4）; （按第1行展开） 再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n-2-bncn

6、D2n-2, 即D2n=（andn-bncn）D2n-2 于是 . 而 所以 （5） D=det（aij）, 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, （-1）n-1（n-1）2n-2. （6）, 其中a1a2 an0. 8. 用克莱姆法则解下列方程组: （1） 解 因为 所以 , , , . 所以, , , , . 9. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 令D=0, 得 m=0或l=1 于是 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解. 10. 问l取何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 =（1-l）3+（l-3）-4（1-l）-2（1-l）（-3-l） =（1-l）3+2（1-l）2+l-3. l=0, l=2或l=3. 于是 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解.