届一轮复习人教A版解析几何学案Word下载.docx
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=,它不包括垂直于坐标轴的直线.
(4)截距式:
+=1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
(5)一般式:
Ax+By+C=0(A,B不同时为0).
[对点专练2]已知直线过点P(1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的方程为________.
[答案]5x-y=0或x+y-6=0
3.点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=;
(2)两平行线l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0间的距离为d=.
[对点专练3]两平行直线3x+2y-5=0与6x+4y+5=0间的距离为________.
[答案]
4.两直线的位置关系
在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,在用直线一般式方程研究两直线位置关系时,=≠是两直线平行的充分但不必要条件,同理k1k2=-1也是两直线垂直的充分但不必要条件.
[对点专练4]设直线l1:
x+my+6=0和l2:
(m-2)x+3y+2m=0,当m=________时,l1∥l2;
当m=________时,l1⊥l2;
当________时l1与l2相交;
当m=________时,l1与l2重合.
[答案]-1m≠3且m≠-13
5.圆的方程
在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中不要忽视条件D2+E2-4F>
0.
[对点专练5]若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a=________.
[答案]-1
6.与圆有关的距离问题
在圆中,注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.
[对点专练6]双曲线-=1的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________.
[答案]内切
7.圆锥曲线的定义
对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”,抓住关键词,例如椭圆中定长大于定点之间的距离,双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”,否则只是双曲线的其中一支.在抛物线的定义中必须注意条件:
F∉l,否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线.
[对点专练7]已知平面内两定点A(0,1),B(0,-1),动点M到两定点A、B的距离之和为4,则动点M的轨迹方程是________.
[答案]+=1
8.圆锥曲线的方程
求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程,一般遵循先定位,再定型,后定量的步骤,即先确定焦点的位置,再设出其方程,求出待定系数.
[对点专练8]与双曲线-=1有相同的渐近线,且过点(-3,2)的双曲线方程为________.
[答案]-=1
9.圆锥曲线的几何性质
椭圆中,注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.椭圆的焦点在长轴上,椭圆上的点到焦点的最小距离a-c,最大距离a+c;
双曲线的焦点总在实轴上,双曲线上的点到相应焦点的最小距离c-a.
[对点专练9]已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·
|PF2|取最大值的点P为()
A.(-2,0)B.(0,1)
C.(2,0)D.(0,1)或(0,-1)
[答案]D
10.弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
|P1P2|=或
|P1P2|=.
(2)过抛物线y2=2px(p>
0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1,y1)、D(x2,y2),则弦长|CD|=x1+x2+p.
[对点专练10]已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为________.
[易错盘点]
易错点1直线倾斜角与斜率关系不清致误
【例1】已知直线xsinα+y=0,则该直线的倾斜角的变化范围是________________.
[错解]由题意得,直线xsinα+y=0的斜率k=-sinα,
∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,直线的倾斜角的变化范围是.
[错因分析]直线斜率k=tanβ(β为直线的倾斜角)在[0,π)上是不单调的且不连续.
[正解]由题意得,直线xsinα+y=0直线的斜率k=-sinα,
∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,当-1≤k<
0时,倾斜角的变化范围是;
当0≤k≤1时,倾斜角的变化范围是.
故直线的倾斜角的变化范围是∪.
由直线的斜率求倾斜角,一般利用三角函数的单调性,借助正切函数在[0,π)上的图象,数形结合确定倾斜角的范围.在这里要特别注意,正切函数在[0,π)上的图象并不是单调函数,这一点是最容易被忽略而致错的.
[对点专练1]
(1)倾斜角为135°
,在y轴上的截距为-1的直线方程是()
A.x-y+1=0B.x-y-1=0
C.x+y-1=0D.x+y+1=0
(2)已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P且总与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围是________.
[解析]
(1)直线的斜率为k=tan135°
=-1,所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0,故选D.
(2)当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时,l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴时,当直线l垂直于x轴时l无斜率,再转时斜率为负值逐渐变大直到PB的位置,所以直线l的斜率k≥kPA=,或k≤kPB=-,故k的取值范围是∪.
[答案]
(1)D
(2)∪
易错点2忽略斜率不存在的直线致误
【例2】已知直线l1:
(t+2)x+(1-t)y=1与l2:
(t-1)x+(2t+3)y+2=0互相垂直,则t的值为________.
[错解]直线l1的斜率k1=-,
直线l2的斜率k2=-,
∵l1⊥l2,∴k1·
k2=-1,即·
=-1,
解得t=-1.
[错因分析]
(1)盲目认为两直线的斜率存在,忽视对参数的讨论.
(2)忽视两直线有一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,两直线垂直这一情形.
[正解]解法一:
(1)当l1,l2的斜率都存在时,
由k1·
k2=-1,得t=-1.
(2)若l1的斜率不存在,
此时t=1,l1的方程为x=,l2的方程为y=-,
显然l1⊥l2,符合条件;
若l2的斜率不存在,此时t=-,
易知l1与l2不垂直,综上t=-1或t=1.
解法二:
l1⊥l2⇔(t+2)(t-1)+(1-t)(2t+3)=0⇔t=1或t=-1.
解决含有参数的直线的位置关系式问题时,切记对直线的斜率存在与不存在进行分类讨论,以避免出错.
[对点专练2]
(1)“直线ax-y=0与直线(a+1)x-ay=1垂直”是“a=-2”成立的是()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点A(2,-3)与圆C:
x2+y2-2x=0相切的直线方程为________.
[解析]
(1)由直线ax-y=0与直线(a+1)x-ay=1垂直,得a(a+1)+a=0,解得a=0或a=-2.选B.
(2)圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1.
①当直线的斜率不存在时,直线x=2与圆C相切;
②当直线斜率存在时,设直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,
由=1,得k=-.
∴直线方程为y+3=-(x-2),即4x+3y+1=0.
故所求直线方程为x=2或4x+3y+1=0.
[答案]
(1)B
(2)x=2或4x+3y+1=0
易错点3忽视圆的条件致误
【例3】已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C:
x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则实数a=________.
[错解]∵过点P有且只有一条直线与圆C相切,
∴点P在圆C上,
∴4+1+4a+a+2a2+a-1=0.
得a=-1或a=-2.
[错因分析]忽视了x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0表示圆的条件.
[正解]由(2a)2+a2-4(2a2+a-1)>
0,
即3a2+4a-4<
0,得-2<
a<
.
∵过点P有且只有一条直线与圆C相切,
∴点P在圆C上,得4+1+4a+a+2a2+a-1=0,解得a=-1或a=-2(舍去).
综上所述,a的值为-1.
二元二次方程表示圆是有条件的,必须有D2+E2-4F>
0.本题的失分原因是忽视了这个条件.在解决此类问题时,可以直接判断D2+E2-4F>
0,也可以配方后,判断方程右侧大于0,因为右侧相当于r2.
[对点专练3]
(1)若圆x2+y2+mx-=0与直线y=-1相切,其圆心在y轴的左侧,则m=________.
(2)已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,过点A(1,2)与圆C相切的直线有两条,则a的取值范围为______________________.
[解析]
(1)圆的标准方程为2+y2=2,圆心到直线y=-1的距离=|0-(-1)|,解得m=±
,因为圆心在y轴的左侧,所以m=.
(2)将圆C的方程配方有2+(y+1)2=,∴>
0.①
∴圆心C的坐标为,半径r=.
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>
r,
即>
,
化简得a2+a+9>
0.②
由①②得-<
∴a的取值范围是-<
[答案]
(1)
(2)-<
易错点4忽视圆锥曲线的焦点位置致误
【例4】已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率为________.
[错解]据已知得=,故双曲线的离心率e=
=.
[错因分析]只要mn>
0,方程-=1就表示双曲线.错解中错将双曲线误认为焦点在x轴上.事实上只要m<
0,n<
0时焦点在y轴上,此时应有=.
[正解]分两种情况讨论:
①m>
0,n>
0;
=,==,
e===.
②m<
所以双曲线的离心率为或.
求与椭圆或双曲线的离心率有关的问题时,一定要关注焦点的位置对离心率的影响,必要时进行分类讨论.
[对点专练4]
(1)已知椭圆+=1的离心率e=,则实数k的值为()
A.3B.3或
C.D.或
(2)以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线C的离心率为()
A.2或B.2或
C.D.2
[解析]
(1)①当焦点在x轴上时,a2=5,b2=k,c2=5-k,e2===2解得k=3;
②当焦点在y轴上时,a2=k,b2=5,c2=a2-b2=k-5,e2===2,解之得k=.综合①②知,适合条件的实数k=3或.故选B.
(2)①当双曲线的焦点在x轴上时,由题意知双曲线C:
-=1(a>
0,b>
0)的渐近线方程为y=±
x,所以=tan=,所以b=a,c==2a,故双曲线C的离心率e===2;
②当双曲线的焦点在y轴上时,由题意知双曲线C:
x,所以=tan=,所以a