06-分析力学基础-第二类拉格朗日方程PPT资料.ppt
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就是改造惯性虚功项，使之与系统的动能的变化联系起来。
M1-3,变换,2.,3.,1.,M1-4,可得,由,为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。
其中：
主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量（不包含约束反力）,体系相对惯性系的动能,广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量,M1-5,2.保守体系的拉格朗日方程,M1-6,2.保守体系的拉格朗日方程,将Qk代入拉格朗日方程式，得,想一想：
上式的成立、适用条件是什么？
保守体系的拉格朗日方程为：
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数,M1-7,3.对拉格朗日方程的评价,
（1）拉氏方程的特点（优点）：
是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。
形式简洁、结构紧凑。
而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。
方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。
体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。
拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。
M1-8,3.对拉格朗日方程的评价,
（2）拉氏方程的价值,拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。
M1-9,应用拉氏方程解题的步骤：
1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。
必须注意：
不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3.计算广义力，计算公式为：
或,若主动力为有势力，也可将势能V表示为广义坐标的函数。
4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
5.求出上述一组微分方程的积分。
M1-10,例物块C的质量为m1，A，B两轮皆为均质圆轮，半径R，质量为m2，求系统的运动微分方程。
解：
图示机构只有一个自由度，所受约束皆为完整、理想、定常的，以物块平衡位置为原点，取x为广义坐标。
系统势能：
（以弹簧原长为弹性势能零点）,M1-11,系统动能：
系统的拉格朗日函数（动势）,代入拉格朗日方程,M1-12,注意到,可得系统的运动微分方程,M1-13,已知：
M1的质量为m1，M2的质量为m2，杆长为l。
试建立此系统的运动微分方程。
图示机构为两个自由度，取x1，为广义坐标，则有。
系统动能：
求导：
M1-14,系统势能：
（选质点M2在最低位置为零势能位置）,求导运算可得：
由拉格朗日方程得,M1-15,同理：
由拉格朗日方程得,M1-16,例水平面内运动的行星齿轮机构。
均质杆OA：
重P，可绕O点转动；
均质小齿轮：
重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。
系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。
系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。
图示机构只有一个自由度，所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角为广义坐标。
M1-17,M1-18,代入拉氏方程：
积分，得：
故：
代入初始条件，t=0时，得,M1-19,例：
与刚度为k的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。
滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2。
试列出该系统的运动微分方程。
将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。
保守系统。
取x,为广义坐标，x轴原点位于弹簧自然长度位置，逆时针转向为正。
M1-20,系统动能：
M1-21,系统势能：
（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）,拉格朗日函数：
M1-22,M1-23,系统的运动微分方程。
上式为系统在平衡位置（x=0,=0）附近微幅运动的微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时1o，cos1，sin，略去二阶以上无穷小量，则,M1-24,谢谢大家,M1-25,变换,1.,由,两边对时间求导数可得,两边再对求偏导即可得,M1-26,变换,2.,由,对时间求微分可得,对求偏导可表示为,而,若ri的一二阶偏导数连续，比较上两式可得变换2,
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