1、就是改造惯性虚功项,使之与系统的动能的变化联系起来。,M1-3,变换,2.,3.,1.,M1-4,可得,由,为理想完整系的拉格朗日方程,方程数等于质点系的自由度数。其中:,主动力的广义力,可以是力、力矩或其他力学量(不包含约束反力),体系相对惯性系的动能,广义动量,可为线动量、角动量或其他物理量,M1-5,2.保守体系的拉格朗日方程,M1-6,2.保守体系的拉格朗日方程,将Qk代入拉格朗日方程式,得,想一想:上式的成立、适用条件是什么?,保守体系的拉格朗日方程为:,为拉格朗日函数(动势),是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。,势能V不包含广义速度,引入拉格朗日函数,M1-7,3.
2、对拉格朗日方程的评价,(1)拉氏方程的特点(优点):,是一个二阶微分方程组,方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标,方程形式不变。,方程中不出现约束反力,因而在建立体系的方程时,只需分析已知的主动力,不必考虑未知的约束反力。体系越复杂,约束条件越多,自由度越少,方程个数也越少,问题也就越简单。,拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的,能量是整个物理学的基本物理量而且是标量,因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性,成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。,M1-8,3.对拉格朗日方程的评价,(2)拉氏方程的价值,拉氏方程在理论上、方法上、
3、形式上和应用上用高度统一的规律,描述了力学系统的动力学规律,为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法,不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值,而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。,M1-9,应用拉氏方程解题的步骤:1.判定质点系的自由度k,选取适宜的广义坐标。必须注意:不能遗漏独立的坐标,也不能有多余的(不独立)坐标。2.计算质点系的动能T,表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力,计算公式为:,或,若主动力为有势力,也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。4.建立拉氏方程并加以整理,得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。,M1-10,例 物块C的
4、质量为m1,A,B两轮皆为均质圆轮,半径R,质量为m2,求系统的运动微分方程。,解:图示机构只有一个自由度,所受约束皆为完整、理想、定常的,以物块平衡位置为原点,取x 为广义坐标。,系统势能:(以弹簧原长为弹性势能零点),M1-11,系统动能:,系统的拉格朗日函数(动势),代入拉格朗日方程,M1-12,注意到,可得系统的运动微分方程,M1-13,已知:M1的质量为m1,M2的质量为m2,杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。图示机构为两个自由度,取x1,为广义坐标,则有。,系统动能:,求导:,M1-14,系统势能:(选质点 M2 在最低位置为零势能位置),求导运算可得:,由拉格朗日方程 得,M
5、1-15,同理:,由拉格朗日方程 得,M1-16,例 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA:重P,可绕O点转动;均质小齿轮:重Q,半径 r,沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止,系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后,求系杆OA的运动方程。图示机构只有一个自由度,所受约束皆为完整、理想、定常的,可取OA杆转角 为广义坐标。,M1-17,M1-18,代入拉氏方程:,积分,得:,故:,代入初始条件,t=0 时,得,M1-19,例:与刚度为k 的弹簧相连的滑块A,质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆,摆长l,摆锤质量为m2。试列出该系统的运动微分方程。将弹簧
6、力计入主动力,则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标,x 轴 原点位于弹簧自然长度位置,逆时针转向为正。,M1-20,系统动能:,M1-21,系统势能:(以弹簧原长为弹性势能零点,滑块A所在平面为重力势能零点),拉格朗日函数:,M1-22,M1-23,系统的运动微分方程。,上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。,若系统在平衡位置附近作微幅运动,此时 1o,cos 1,sin,略去二阶以上无穷小量,则,M1-24,谢谢大家,M1-25,变换,1.,由,两边对时间求导数可得,两边再对 求偏导即可得,M1-26,变换,2.,由,对时间求微分可得,对 求偏导可表示为,而,若 ri 的一二阶偏导数连续,比较上两式可得变换2,
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